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Entiers et probabilité

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Voilà un résultat fort intéressant :

Soient a et b deux entiers naturels non nuls inférieurs à n!. En notant p_n la probabilité que a et b soient premiers entre eux, on a

\lim_{n \to +\infty} p_n= \frac{6}{\pi^2} \approx 61\%.

C’est-à-dire que la « probabilité » que deux entiers soient premiers entre eux est de 6/\pi^2. Mais il faut faire attention avec ce mot, comme nous le verrons plus bas !

On rappelle que n!=1\times 2\times 3 \times \cdots \times n.

La fonction zêta de Riemann

Une fonction très connue en théorie des nombres est la fonction zêta de Riemann, notée \zeta. Sur les entiers supérieurs ou égaux à 2, elle est définie par :

\zeta(n)=1+\frac{1}{2^n}+\frac{1}{3^n}+\cdots=\sum_{k=1}^{+ \infty} \frac{1}{k^n}.

Ce qui est remarquable, c’est qu’elle est fortement reliée aux nombres premiers à travers la formule suivante :

\zeta(n)=\left( \frac{1}{1-1/2^n}\right)\left( \frac{1}{1-1/3^n}\right)\left( \frac{1}{1-1/5^n}\right)\cdots=\prod_{p \in \mathbb P} \frac{1}{1-1/p^n}

où l’on fait le produit sur tous les nombres premiers.

Un autre fait remarquable, c’est que la valeur de \zeta(2) est connue :

\zeta(2)=\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}.

Pour des démonstrations de ces résultats, on pourra se reporter aux articles produit eulérien et problème de Bâle sur Wikipédia.

Pourquoi ce « n! » ?

On peut se demander pourquoi on demande que les deux entiers a et b soient bornés par n! Tout simplement parce qu’il n’existe pas de mesure de probabilité uniforme sur l’ensemble \mathbb N des entiers naturels, ce qui empêche de parler de probabilité sur les entiers directement. Une loi uniforme est la seule qui modélise correctement le fait de prendre des objets au hasard, car elle associe la même probabilité à chaque élément.

Plus formellement, si on disposait d’une mesure de probabilités uniforme \mu sur \mathbb N, alors on aurait d’une part \mu(\mathbb N)=1, mais aussi \mu(\{n\})=\varepsilon pour tout n. Or c’est impossible, car on a

1=\mu(\mathbb N)=\mu\left( \bigcup_{n \in \mathbb N} \{n\} \right)=\sum_{n =0}^{+\infty} \mu(\{n\})=\sum_{n =0}^{+\infty} \varepsilon.

Si \varepsilon=0, on aurait 1=0 et si \varepsilon>0 on aurait 1=+\infty, absurde.

Il est donc incorrect de parler de probabilité que deux entiers soient premiers entre eux. Le résultat énoncé plus haut n’en reste pas moins intéressant.

Démonstration

Soit p un nombre premier inférieur à n. Notons A_p l’évènement p n’est pas un diviseur commun de a et b.

La probabilité pour que a soit divisible par p est de 1/p. En effet, le nombre k de multiples de p dans \{1,\ldots,n!\} vérifie

n!-p < kp\leq n!

c’est-à-dire

\frac{n!}{p}-1 < k \leq \frac{n!}{p}.

Or n! est divisible par p, donc n!/p est un entier. Le nombre k étant lui-même un entier, on a nécessairement k=n!/p.

La proportion (et donc la probabilité que a soit divisible par p) d’entiers divisibles dans \{1,\ldots,n!\} est donc de

\frac{k}{n!}=\frac{n!/p}{n!}=\frac{1}{p}.

On refait le même raisonnement pour b. Par indépendance sur les choix de a et b, la probabilité que a et b soient tous les deux divisibles par p est de 1/p^2. La probabilité de l’événement A_p est donc de 1-1/p^2.

L’événement B_n : « a et b sont premiers entre eux » est se produit quand ils n’ont pas de facteurs commun, c’est-à-dire quand les événements A_i sont tous réalisés en même temps. On a donc

p_n=P(B_n)=P\left( \bigcap_{p \leq n!} A_p\right)

et par indépendance

p_n=\prod_{p \leq n!} P(A_p)=\prod_{p \leq n!} \left(1-\frac{1}{p^2}\right)

d’où en passant à la limite sur n :

\lim_{n \to +\infty} p_n = \frac{1}{\zeta(2)}=\frac{6}{\pi^2}

ce qui achève la démonstration.

Pour aller plus loin

On peut raffiner le théorème en travaillant avec n plutôt qu’avec n! mais la démonstration est plus difficile.