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Preuve topologique de l’infinitude des nombres premiers

03/02/2010 Valvino 4 commentaires

Voilà un titre qui en jette un maximum! J’ai lu dans l’excellent livre Raisonnements divins (chez Springer) une démonstration étonnante du fait qu’il existe une infinité de nombres premiers. Elle est d’un niveau élevé car elle fait appel à des notions de topologie générale, mais elle est assez élémentaire pour qui connait cette théorie. Je la livre donc ici.

On définit une topologie sur \mathbb Z en disant que les ouverts sont le vide et les O \subset \mathbb Z vérifiant que pour tout entier a\in O, il existe un entier b>0 tel que a+b\mathbb Z\subset O. Il est clair que la réunion quelconque d’ouverts est un ouvert. De plus, si O_1,O_2 sont des ouverts, ou bien l’intersection est vide et O_1 \cap O_2 est un ouvert, ou bien pour a \in O_1 \cap O_2, on a a+b_1b_2\mathbb Z \subset O_1 \cap O_2, avec  des entiers b_1,b_2>0 tels que a+b_1\mathbb Z\subset O_1 et a+b_2\mathbb Z\subset O_2. Finalement,  O_1 \cap O_2 est un ouvert. On a donc bien une topologie sur \mathbb Z.

On remarque d’une part que tout ouvert non vide est infini (car par définition il contient un ensemble infini), et d’autre part que tout ensemble du type a+b\mathbb Z, avec a,b des entiers (b>0), est un fermé. En effet, on a

\displaystyle a+b\mathbb Z=\mathbb Z-\left(\bigcup_{k=1}^{b-1} [a+k+b\mathbb Z]\right),

c’est donc le complémentaire d’un ouvert.

Comme tout entier différent de 1 et -1 admet un diviseur premier, on a

\displaystyle \mathbb Z-\{-1,1\}=\bigcup_p 0+p\mathbb Z

où la réunion se fait sur tous les nombres premiers p. S’ils étaient en nombre fini, \bigcup_p 0+p\mathbb Z serait fermé comme réunion finie d’ensembles fermés. Par passage au complémentaire, \{-1,1\} serait ouvert, ce qui est absurde car c’est un ensemble fini non vide. Il existe donc une infinité de nombres premiers.

Joli, non?

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