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Bon nombre d’élèves de terminale S se sont posés la question quand le prof a écrit au tableau l’égalité  : « mais les nombres complexes, ça n’existe pas! ».

Ce qu’il faut bien avoir en tête, c’est que les objets mathématiques sont construits, ils ne sortent pas de nulle part. La règle du jeu, c’est que l’on peut faire tout ce qu’on veut, du moment que la logique est respectée. Par exemple, les étudiants de premier cycle de mathématiques voient comment construire les ensembles des entiers relatifs, des rationnels, des nombres réels, ensembles dont personne ne conteste l’existence. Pourquoi ne pas construire d’autres ensembles que nous facilitent la vie? Certes, c’est souvent très abstrait : un réel peut être défini comme une classe d’équivalence de suite de Cauchy rationnelles modulo la relation d’équivalence « la différence tend vers zéro à l’infini« …

Ce qui est intéressant, c’est que bien que les complexes soient a priori les objets les moins intuitifs que les élèves du lycée rencontrent, la construction de l’ensemble des nombres complexes est beaucoup plus simple que celles des autres ensembles de nombres. Je propose de l’exposer dans les grandes lignes ici.

Un nombre complexe est défini par sa partie réelle et sa partie imaginaire. On a donc envie de dire qu’un nombre complexe, c’est plus ou moins un couple de réels. C’est une bonne piste. On définit donc un nombre complexe comme un couple de nombre réels : .

Après, on veut additionner deux nombres complexes. Ça tombe bien, on dispose d’une addition naturelle sur les couples de nombres réels : on additionne coordonnée par coordonnées On pose donc

Maintenant, on veut définir une multiplication. On pose alors

Certes ça parait sortir de nulle part, mais en fait ces formules ont été établies empiriquement en faisant des calculs, et ici le but est de faire une justification formelle. On pose donc la multiplication comme on a envie qu’elle soit sur les nombres complexes.

Ensuite, il suffit de remarquer que

Cela devient intéressant! On a donc envie de poser .

Je passe sur les détails, mais on identifie le nombre complexe avec le nombre réel , et on montre alors que tout nombre complexe s’écrit de manière unique comme avec des nombres réels. Et on montre enfin que les nombres complexes ont les bonnes propriétés (ils sont inversibles, les lois définies plus haut sont compatibles avec celles sur les nombres réels, etc…).

Voilà donc comment construire facilement les nombres complexes. Je profite de cet article pour dire à quel point je regrette que ce genre de chose ne soit plus au programme du lycée. Cela ne me semble pas très difficile, les cours de maths feraient moins recettes miracles de cuisine, et surtout cela soulignerait la vraie nature des maths : ce n’est pas que du calcul, mais surtout l’étude rigoureuse d’objets construit logiquement.

Pour approfondir, je vous conseille cette page où il y a des réflexions sur la construction des mathématiques, et la page Wikipédia sur la construction des nombres complexes.

Le 23 juin dernier, tous les étudiants de métropole et de la Réunion passaient leur baccalauréat de mathématiques, avec deux sujets différents comme chaque année. Ayant du temps pour les regarder et en faire une correction (sujet et corrigé de métropole et de la Réunion), j’ai été surpris par la différence de niveau attendue des lycéens… Le bac de la Réunion sauce 2009 est clairement plus corsé que celui de métropole !

D’où me vient ce constat ? Prenons par exemple l’exercice d’Analyse d’étude de fonctions. Dans le sujet métropole, en 3 questions sont demandés la limite en +∞, de comparer le signe de la dérivée à 1-x et d’en déduire le tableau de variations. Dans le sujet de la Réunion, pour  »la même fonction », il est demandé de conjecturer ces trois choses d’après le graphique, et de le montrer : il n’y a pas d’indication ! Déjà, rien que cela est étonnant, mais après tout, pourquoi pas ? Ils pourraient bien se rattraper autre part… et c’est là que l’on déchante ! Face à l’exercice facile sur les suites en métropole (où il fallait conjecturer que ) s’oppose un QCM sur les complexes (certes à espérance positive) mais avec une équation complexe du type qui a dû déstabiliser beaucoup de candidats. Pour les probabilités, la Réunion propose (encore) un exercice sur la loi binomiale alors que le sujet de métropole conserve des probabilités  »classiques », beaucoup plus appréciées par les lycéens. Et bien que l’exercice (facile) d’arithmétique de métropole amuse avec ses 3 références à l’année 2009 (jolies – soit dit en passant), on trouve un exercice de géométrie dans l’espace et de surfaces à la Réunion, avec une question ouverte intéressante et plutôt difficile. Reste le dernier exercice, celui pour ceux qui ne sont pas en spécialité mathématiques. Ceux de la Réunion ont dû beaucoup souffrir : leur exercice est carrément difficile, avec une question ouverte à la fin qui nécessitait des idées, et beaucoup de raisonnement et de calculs pour arriver à ses fins ! La différence de niveau est palpable entre les deux baccalauréats : c’est assez bluffant !

Intrigué par cette nette différence, je suis allé survoler les baccalauréats de ces deux lieux jusqu’en 2005, et nettement les sujets de la Réunion tiennent la palme de la difficulté (avec deux sujets longs en 2005 et 2009). QCM une année sur deux à peu près, mais ceux de la Réunion, c’est avec deux réponses justes parmi les 4, avec parfois des points en moins pour les réponses fausses), et ceux de métropole restent tranquilles avec une seule réponse juste (il suffit d’éliminer les autres, avec la palme du vrai/faux en 2006 qui n’enlève pas de points !). Peu d’arithmétique (et en plus il est difficile en 2005) à la Réunion, moins d’étude de fonction et d’équations différentielles, même si l’on voit apparaître une équation fonctionnelle, ce qui reste assez rare dans les sujets de baccalauréat. Et surtout, un amour (pourquoi donc ?!) pour les lois binomiales en probabilités, alors que la métropole reste  »classique » ou s’essaye (en 2008) aux probabilités continues…

Puis en vrac, à la Réunion, on trouve des équations de tangentes (ah, ce n’est pas aimé ça !), des probabilités avec un graphique et de l’analyse (sur 6 points en 2006 – pour un jeu de fléchette, à regarder c’est intéressant !), géométrie dans l’espace à foison, probabilités avec loi binomiale, une équation fonctionnelle qui donne une équation différentielle… bref, souvent des exercices pour préparer à la prépa MPSI…

Étonnant non ?