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Comment calculer la dérivée de la fonction sinus?

Le programme des classes scientifiques au lycée — en tout cas ce qu’il en reste — étudie la notion de dérivation d’une fonction f définie sur un intervalle ouvert I \subset \mathbb R. Le nombre dérivé f’(a) de f au point a\in I — s’il existe — est défini par

\displaystyle f’(a)=\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}.

Par exemple, si f(x)=x^2 pour x \in \mathbb R, on a d’après une identité remarquable bien connue

\displaystyle \frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{(a+h)^2-a^2}{h}=\frac{a^2+h^2+2ah-a^2}{h}=h+2a

d’où

\displaystyle f’(a)=\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lim_{h \to 0}h+2a=2a.

On admet au lycée que la fonction sinus est dérivable sur \mathbb R tout entier et que \sin’(a)=\cos(a) pour tout a \in \mathbb R.  On le démontre ensuite dans les classes supérieures, bien souvent à l’aide des séries entières. Je propose ici de le montrer par des moyens géométriques. Certes le raisonnement suivant est loin d’être inattaquable sur le plan de la rigueur pure, mais je le trouve tout de même intéressant.

Tout d’abord en utilisant une formule trigonométrique, on a

\displaystyle \frac{\sin(a+h)-\sin(a)}{h}=\frac{\sin(a)\cos(h)+\sin(h)\cos(a)-\sin(a)}{h}

d’où

\displaystyle \frac{\sin(a+h)-\sin(a)}{h}=\sin(a)\frac{\cos(h)-1}{h}+\frac{\sin(h)}{h}\cos(a).

On trouvera une preuve géométrique de cette formule trigonométrique dans ce lien. Il nous reste donc montrer que

\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{\sin(h)}{h}=1\quad\text{et}\quad\lim_{h \to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}=0.

Considérons la figure ci-dessous, où le cercle est de centre O et de rayon égal à 1 :

Figure

On a OA=\cos(h), OB=\sin(h) et IC=\tan(h). On observe alors que le triangle OIM d’aire \sin(h)/2 est strictement inclus dans le secteur angulaire délimité par O, I et M d’aire h/2, qui est lui-même strictement inclus dans le triangle OIT d’aire \tan(h)/2. On en déduit donc que pour tout h\in]0,\pi/2[

\displaystyle\sin(h)<h<\tan(h).

En passant à l’inverse et en divisant par \sin(h), on obtient

\displaystyle\cos(h)<\frac{\sin(h)}{h}<1

d’où par le théorème des gendarmes

\displaystyle\lim_{h \to 0^+}\frac{\sin(h)}{h}=1.

Comme la fonction h\in\mathbb{R}-\{0\}\mapsto\sin(h)/h est paire, on a bien

\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{\sin(h)}{h}=1.

On essaye pour la deuxième limite de se ramener à la première. Le théorème de Pythagore nous donne un lien entre le sinus et le cosinus : \sin^2(h)+\cos^2(h)=1. On a alors

\displaystyle\frac{\cos(h)-1}{h}=\frac{\cos(h)-1}{h}\frac{\cos(h)+1}{\cos(h)+1}=\frac{\cos^2(h)-1}{h(\cos(h)+1)}=\frac{-\sin^2(h)}{h(\cos(h)+1)}

d’où

\displaystyle\frac{\cos(h)-1}{h}=-\frac{\sin(h)}{h} \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}.

On fait alors tendre h vers 0 et on obtient bien

\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}=0.

Mesure et pavés

Le problème

Plaçons nous dans l’espace \mathbb{R}^n, n\geq 2. On appelle un pavé un ensemble de la forme
P=I_1\times I_2\times \cdots\times I_n
où les I_j, j\in\left\{1, \ldots, n\right\} c’est-à-dire le produit cartésien d’intervalles bornés de \mathbb{R} (fermés, ouverts, demi-fermés : ça n’a pas d’importance !). On définie alors la mesure d’un pavé comme le produit des longueurs des intervalles :
mes(P)=\ell(I_1) \times \ell(I_2) \times \cdots \times \ell(I_n)
On rappelle que \ell(I_j) = sup(I_j)-inf(I_j).

Considérons alors N pavés de \mathbb{R}^n : P_1, P_2, \ldots, P_N, et un pavé P\subset \bigcup_{i=1}^N P_i. Si dans les dimensions 2 ou 3, il semble trivial que la mesure de P est inférieure à la somme des mesures des P_i, c’est-à-dire respectivement que l’aire d’un rectangle inclus dans une union d’autres rectangles est inférieure à la somme des aires de ces rectangles, et que le volume d’un parallélépipède rectangle inclus dans une union d’autres parallélépipèdes rectangles est inférieure à la somme des volumes de ces parallélépipèdes rectangles, est-ce vraiment si trivial dans \mathbb{R}^n ? Ca le semble, bien entendu, mais à ce jour je n’ai pas trouvé de démonstration simple de ce résultat.

P\subset \bigcup_{i=1}^N P_i \Longrightarrow mes(P)\leq\sum_{i=1}^N mes(P_i)

Une démonstration

On peut déjà supposer sans perte de généralité (WLOG) que les pavés sont tous fermés.

Idée de la démonstration :

Idée de démonstration

Idée de démonstration



On va raisonner par récurrence sur N le nombre de pavés.

Le cas N=1 est clair : si P=I_1\times I_2\times \cdots \times I_n et Q=J_1\times J_2 \times \cdots \times J_n, alors on a

P\subset Q \Longleftrightarrow \forall i \in \left\{1, \ldots, d\right\}, I_i \subset J_i

et dans ce cas,

mes(P) = \ell (I_1)\times \ell(I_2) \times \cdots \times \ell(I_n) \leq\ell (J_1)\times \ell(J_2) \times \cdots \times \ell(J_n) = mes(Q)

Considérons alors le cas général. Notons P=I_1\times I_2 \times \cdots \times I_n et P_i = I_{i,1}\times I_{i,2}\times \cdots \times I_{i,n}. Pour chaque j\in \left\{1,\ldots, n\right\}, on subdivise l’intervalle I_j de la façon suivante :

I_j=\left[a^j_1,a^j_2\right]\cup \left[a^j_2,a^j_3\right]\cup \cdots \cup \left[a^j_{m_j},a^j_{m_j+1}\right]

\left\{a^j_k\right\}_{k\in\left\{1, \ldots, m_j\right\}} est l’ensemble des extrémités des intervalles I_j\cap I_{i,j} pour i parcourant 1,2,\ldots, N.

Notons alors

E=\left\{k=(k_1, \ldots, k_n) \in \mathbb{N}^n \mid 1\leq k_1\leq n_1, \ldots, 1\leq k_n\leq m_n\right\}

Pour k\in E, on note Q_k = \left[a^1_{k_1}, a^1_{k_1+1}\right] \times \left[a^1_{k_2}, a^1_{k_2+1}\right] \times \cdots \times \left[a^1_{k_n}, a^1_{k_n+1}\right]. Avec ces notations, on a que P=\bigcup_{k\in E}Q_k, et que

(E): \qquad mes(P) = \prod_{j=1}^n \ell(I_j) = \prod_{j=1}^n \sum_{k_j=1}^{m_j} \ell \left(\left[a_{k_j}^j, a_{k_j+1}^j\right]\right) = \sum_{k\in E} mes(Q_k)

Or,

\sum_{k\in E} mes(Q_k) \leq \sum_{i=1}^N\left(\sum_{k \mid Q_k\subset P_i}mes(Q_k)\right)

et en appliquant (E) à P_i\cap P, on obtient

\sum_{k\in E} mes(Q_k) \leq \sum_{i=1}^N mes(P_i\cap P) \leq \sum_{i=1}^N mes(P_i)

Et c’est, enfin, ce que l’on désirait.

Auriez-vous une idée pour simplifier cette démonstration ? Peut-on réellement considérer le résultat comme trivial sinon ? Je suis preneur de toute réflexion à ce sujet !