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Maths et magie, racine septième d’un entier

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Si vous voulez impressionner des amis (ou des élèves) par vos performances en calcul mental, mais que malheureusement, vous n’êtes pas aussi doués que d’autres mathématiciens, vous pourriez être tenté d’utiliser quelques petites astuces…

Comment extraire une racine septième d’un entier ?

Demandez à la personne en face de vous d’élever un nombre (entier, cela va de soi, sinon votre tour tombe à l’eau) compris entre 1 et 100 à la puissance 7, avec une calculatrice scientifique (la petite calculatrice aura du mal à afficher 100^7=10^{14}, c’est-à-dire 100 000 milliards…, et qu’elle vous annonce le résultat.

Supposons par exemple qu’elle annonce 3 938 980 639 167. Écrivez le nombre sur votre feuille en séparant tous les 3 chiffres (comme on le fait naturellement en français).

Première étape : déterminons le chiffre des unités du nombre élevé à la puissance 7. On regarde alors le chiffre des unités du nombre qui nous a été donné :

3 938 980 639 167

Puis on regarde discrètement dans ce petit tableau qu’on a caché (ou mieux, qu’on a appris par coeur tellement il est simple) à quoi correspond ce chiffre 7 :

Chiffre des unités du nombre donné 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Chiffre des unités du nombre initial 0 1 8 7 4 5 6 3 2 9

Le nombre initial fini donc par un 3 ! Les plus savants peuvent retenir que ce tableau correspond exactement à la permutation (3,7)(2,8)…

Deuxième étape : Déterminons maintenant le nombre de dizaines. Pour cela on regarde le nombre de milliards qui figurent dans le nombre donné, c’est-à-dire qu’on oublie les 9 premiers chiffres. Dans notre exemple :

3 938 980 639 167

Puis on regarde discrètement dans ce petit tableau qu’on a caché (ou mieux, qu’on a appris par coeur… parce qu’il n’y a que 10 valeurs à retenir) où se situe ce nombre 3938 :

Nombre de milliards du nombre donné 0 0,01 1 21 163 780 2700 8000 20000 47000 100000
Nombre de dizaines du nombre initial 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

On voit bien que 3938 se situe entre 2700 et 8000. On prend donc le nombre de dizaines du nombre le plus petit entre 6 et 7, c’est-à-dire 6.

Finalement, vous pouvez annoncer fièrement votre résultat : le nombre de départ était 63 !

Comment ça fonctionne ?

Il est remarquable qu’à la puissance 7, les chiffres des unités des puissances septième soient tous différents selon le chiffre des unités de départ, et on retrouve exactement les mêmes résultats aux puissances 3 et 5. Même mieux, à la puissance 9, le chiffre des unités de la racine neuvième est exactement le chiffre des unité du nombre final !

D’autre part, les encadrements données dans le second tableau sont simplement ceux que l’on obtient en calculant les puissances septièmes des différentes dizaines, entre 10 et 100, puis en les divisant pas 1 000 000 000, et en arrondissant.

Il convient juste de faire attention lorsque l’on arrondit de ne pas les rendre inférieurs à la puissance septième située immédiatement en dessous. Par exemple, 60^7 = 2 779,36 milliards et 59^7 = 2 488,… milliards, donc on peut arrondir à 2700, 2600 ou 2500 mais pas moins, et du ce fait les puissances septièmes des nombres ayant 5 pour dizaine seront situés sous la barre des 2 700 (ou 2 600, ou 2 500) milliards.

On pourra s’amuser si on le souhaite trouver des moyens équivalents pour calculer des racines cubiques, cinquième ou neuvième des entiers inférieurs à 100.

Entiers et probabilité

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Voilà un résultat fort intéressant :

Soient a et b deux entiers naturels non nuls inférieurs à n!. En notant p_n la probabilité que a et b soient premiers entre eux, on a

\lim_{n \to +\infty} p_n= \frac{6}{\pi^2} \approx 61\%.

C’est-à-dire que la « probabilité » que deux entiers soient premiers entre eux est de 6/\pi^2. Mais il faut faire attention avec ce mot, comme nous le verrons plus bas !

On rappelle que n!=1\times 2\times 3 \times \cdots \times n.

La fonction zêta de Riemann

Une fonction très connue en théorie des nombres est la fonction zêta de Riemann, notée \zeta. Sur les entiers supérieurs ou égaux à 2, elle est définie par :

\zeta(n)=1+\frac{1}{2^n}+\frac{1}{3^n}+\cdots=\sum_{k=1}^{+ \infty} \frac{1}{k^n}.

Ce qui est remarquable, c’est qu’elle est fortement reliée aux nombres premiers à travers la formule suivante :

\zeta(n)=\left( \frac{1}{1-1/2^n}\right)\left( \frac{1}{1-1/3^n}\right)\left( \frac{1}{1-1/5^n}\right)\cdots=\prod_{p \in \mathbb P} \frac{1}{1-1/p^n}

où l’on fait le produit sur tous les nombres premiers.

Un autre fait remarquable, c’est que la valeur de \zeta(2) est connue :

\zeta(2)=\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}.

Pour des démonstrations de ces résultats, on pourra se reporter aux articles produit eulérien et problème de Bâle sur Wikipédia.

Pourquoi ce « n! » ?

On peut se demander pourquoi on demande que les deux entiers a et b soient bornés par n! Tout simplement parce qu’il n’existe pas de mesure de probabilité uniforme sur l’ensemble \mathbb N des entiers naturels, ce qui empêche de parler de probabilité sur les entiers directement. Une loi uniforme est la seule qui modélise correctement le fait de prendre des objets au hasard, car elle associe la même probabilité à chaque élément.

Plus formellement, si on disposait d’une mesure de probabilités uniforme \mu sur \mathbb N, alors on aurait d’une part \mu(\mathbb N)=1, mais aussi \mu(\{n\})=\varepsilon pour tout n. Or c’est impossible, car on a

1=\mu(\mathbb N)=\mu\left( \bigcup_{n \in \mathbb N} \{n\} \right)=\sum_{n =0}^{+\infty} \mu(\{n\})=\sum_{n =0}^{+\infty} \varepsilon.

Si \varepsilon=0, on aurait 1=0 et si \varepsilon>0 on aurait 1=+\infty, absurde.

Il est donc incorrect de parler de probabilité que deux entiers soient premiers entre eux. Le résultat énoncé plus haut n’en reste pas moins intéressant.

Démonstration

Soit p un nombre premier inférieur à n. Notons A_p l’évènement p n’est pas un diviseur commun de a et b.

La probabilité pour que a soit divisible par p est de 1/p. En effet, le nombre k de multiples de p dans \{1,\ldots,n!\} vérifie

n!-p < kp\leq n!

c’est-à-dire

\frac{n!}{p}-1 < k \leq \frac{n!}{p}.

Or n! est divisible par p, donc n!/p est un entier. Le nombre k étant lui-même un entier, on a nécessairement k=n!/p.

La proportion (et donc la probabilité que a soit divisible par p) d’entiers divisibles dans \{1,\ldots,n!\} est donc de

\frac{k}{n!}=\frac{n!/p}{n!}=\frac{1}{p}.

On refait le même raisonnement pour b. Par indépendance sur les choix de a et b, la probabilité que a et b soient tous les deux divisibles par p est de 1/p^2. La probabilité de l’événement A_p est donc de 1-1/p^2.

L’événement B_n : « a et b sont premiers entre eux » est se produit quand ils n’ont pas de facteurs commun, c’est-à-dire quand les événements A_i sont tous réalisés en même temps. On a donc

p_n=P(B_n)=P\left( \bigcap_{p \leq n!} A_p\right)

et par indépendance

p_n=\prod_{p \leq n!} P(A_p)=\prod_{p \leq n!} \left(1-\frac{1}{p^2}\right)

d’où en passant à la limite sur n :

\lim_{n \to +\infty} p_n = \frac{1}{\zeta(2)}=\frac{6}{\pi^2}

ce qui achève la démonstration.

Pour aller plus loin

On peut raffiner le théorème en travaillant avec n plutôt qu’avec n! mais la démonstration est plus difficile.