dérivée | Kilomaths.com

Le programme des classes scientifiques au lycée — en tout cas ce qu’il en reste — étudie la notion de dérivation d’une fonction $f$ définie sur un intervalle ouvert $I \subset \mathbb R$ . Le nombre dérivé $f'(a)$ de $f$ au point $a\in I$ — s’il existe — est défini par

$\displaystyle f'(a)=\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$

Par exemple, si $f(x)=x^2$ pour $x \in \mathbb R$ , on a d’après une identité remarquable bien connue

$\displaystyle \frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{(a+h)^2-a^2}{h}=\frac{a^2+h^2+2ah-a^2}{h}=h+2a$

d’où

$\displaystyle f'(a)=\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lim_{h \to 0}h+2a=2a$ .

On admet au lycée que la fonction sinus est dérivable sur $\mathbb R$ tout entier et que $\sin'(a)=\cos(a)$ pour tout $a \in \mathbb R$ . On le démontre ensuite dans les classes supérieures, bien souvent à l’aide des séries entières. Je propose ici de le montrer par des moyens géométriques. Certes le raisonnement suivant est loin d’être inattaquable sur le plan de la rigueur pure, mais je le trouve tout de même intéressant.

Tout d’abord en utilisant une formule trigonométrique, on a

$\displaystyle \frac{\sin(a+h)-\sin(a)}{h}=\frac{\sin(a)\cos(h)+\sin(h)\cos(a)-\sin(a)}{h}$

d’où

$\displaystyle \frac{\sin(a+h)-\sin(a)}{h}=\sin(a)\frac{\cos(h)-1}{h}+\frac{\sin(h)}{h}\cos(a)$ .

On trouvera une preuve géométrique de cette formule trigonométrique dans ce lien. Il nous reste donc montrer que

$\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{\sin(h)}{h}=1\quad\text{et}\quad\lim_{h \to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}=0$ .

Considérons la figure ci-dessous, où le cercle est de centre $O$ et de rayon égal à 1 :

On a $OA=\cos(h)$ , $OB=\sin(h)$ et $IC=\tan(h)$ . On observe alors que le triangle $OIM$ d’aire $\sin(h)/2$ est strictement inclus dans le secteur angulaire délimité par $O$ , $I$ et $M$ d’aire $h/2$ , qui est lui-même strictement inclus dans le triangle $OIT$ d’aire $\tan(h)/2$ . On en déduit donc que pour tout $h\in]0,\pi/2[$

$\displaystyle\sin(h)<h<\tan(h)$ .

En passant à l’inverse et en divisant par $\sin(h)$ , on obtient

$\displaystyle\cos(h)<\frac{\sin(h)}{h}<1$

d’où par le théorème des gendarmes

$\displaystyle\lim_{h \to 0^+}\frac{\sin(h)}{h}=1$ .

Comme la fonction $h\in\mathbb{R}-\{0\}\mapsto\sin(h)/h$ est paire, on a bien

$\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{\sin(h)}{h}=1$ .

On essaye pour la deuxième limite de se ramener à la première. Le théorème de Pythagore nous donne un lien entre le sinus et le cosinus : $\sin^2(h)+\cos^2(h)=1$ . On a alors