Bon nombre d’élèves de terminale S se sont posés la question quand le prof a écrit au tableau l’égalité  : « mais les nombres complexes, ça n’existe pas! ».

Ce qu’il faut bien avoir en tête, c’est que les objets mathématiques sont construits, ils ne sortent pas de nulle part. La règle du jeu, c’est que l’on peut faire tout ce qu’on veut, du moment que la logique est respectée. Par exemple, les étudiants de premier cycle de mathématiques voient comment construire les ensembles des entiers relatifs, des rationnels, des nombres réels, ensembles dont personne ne conteste l’existence. Pourquoi ne pas construire d’autres ensembles que nous facilitent la vie? Certes, c’est souvent très abstrait : un réel peut être défini comme une classe d’équivalence de suite de Cauchy rationnelles modulo la relation d’équivalence « la différence tend vers zéro à l’infini« …

Ce qui est intéressant, c’est que bien que les complexes soient a priori les objets les moins intuitifs que les élèves du lycée rencontrent, la construction de l’ensemble des nombres complexes est beaucoup plus simple que celles des autres ensembles de nombres. Je propose de l’exposer dans les grandes lignes ici.

Un nombre complexe est défini par sa partie réelle et sa partie imaginaire. On a donc envie de dire qu’un nombre complexe, c’est plus ou moins un couple de réels. C’est une bonne piste. On définit donc un nombre complexe comme un couple de nombre réels : .

Après, on veut additionner deux nombres complexes. Ça tombe bien, on dispose d’une addition naturelle sur les couples de nombres réels : on additionne coordonnée par coordonnées On pose donc

Maintenant, on veut définir une multiplication. On pose alors

Certes ça parait sortir de nulle part, mais en fait ces formules ont été établies empiriquement en faisant des calculs, et ici le but est de faire une justification formelle. On pose donc la multiplication comme on a envie qu’elle soit sur les nombres complexes.

Ensuite, il suffit de remarquer que

Cela devient intéressant! On a donc envie de poser .

Je passe sur les détails, mais on identifie le nombre complexe avec le nombre réel , et on montre alors que tout nombre complexe s’écrit de manière unique comme avec des nombres réels. Et on montre enfin que les nombres complexes ont les bonnes propriétés (ils sont inversibles, les lois définies plus haut sont compatibles avec celles sur les nombres réels, etc…).

Voilà donc comment construire facilement les nombres complexes. Je profite de cet article pour dire à quel point je regrette que ce genre de chose ne soit plus au programme du lycée. Cela ne me semble pas très difficile, les cours de maths feraient moins recettes miracles de cuisine, et surtout cela soulignerait la vraie nature des maths : ce n’est pas que du calcul, mais surtout l’étude rigoureuse d’objets construit logiquement.

Pour approfondir, je vous conseille cette page où il y a des réflexions sur la construction des mathématiques, et la page Wikipédia sur la construction des nombres complexes.