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Le théorème de Wielandt

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La fonction gamma \Gamma prolonge la notion de factorielle sur l’ensemble des nombres complexes privés des entiers négatifs ou nul. Il s’agit là d’une fonction holomorphe, sauf aux entiers négatifs ou nul où elle admet des pôles. C’est donc une fonction méromorphe sur les nombres complexes.

On dispose de plusieurs caractérisations de cette fonction. Citons le théorème de Bohr-Mollerup :

Soit une fonction f:]0,+\infty[ \to ]0,+\infty[ telle que

  1. f(1)=1;
  2. f(x+1)=xf(x) pour tout x>0;
  3. f est log-convexe, c’est-à-dire que \log(f) est une fonction convexe.

Alors f(x)=\Gamma(x) pour tout x>0.

On dispose d’une autre caractérisation, il s’agit du théorème de Wielandt :

Soit f une fonction holomorphe sur \mathrm{Re}(z)>0 telle que

  1. f(1)=1;
  2. f(z+1)=zf(z) pour tout \mathrm{Re}(z)>0;
  3. f est bornée dans la bande 1 \leq \mathrm{Re}(z) \leq 2.

Alors f(z)=\Gamma(z) pour tout \mathrm{Re}(z)>0.

Je me propose de faire une esquisse de la démonstration.

On remarque tout d’abord que l’on peut étendre f sur l’ensemble des nombres complexes privés des entiers négatifs ou nul par 2. en suivant la même méthode que pour la fonction gamma. Ensuite, on remarque avec 1. que les résidus aux pôles sont les mêmes que ceux de la fonction gamma. Ainsi, la fonction g=f-\Gamma est une fonction entière.

Ensuite, on remarque que g est bornée sur la bande 0 \leq \mathrm{Re}(z) \leq 1. Pour cela, il suffit de remarquer que c’est le cas sur la bande 1 \leq \mathrm{Re}(z) \leq 2, en faisant une majoration explicite sur la formule définissant \Gamma. On utilise ensuite 2. pour se ramener à la bande 0 \leq \mathrm{Re}(z) \leq 1, le problème en 0 étant effaçable par 1.

Enfin, on pose h(z)=g(z)g(1-z).  Par ce qui précède, c’est une fonction entière bornée dans la bande 0 \leq \mathrm{Re}(z) \leq 1. De plus, h(z+1)=-h(z), ce qui montre que h est une fonction bornée sur l’ensemble des nombres complexes. Par le théorème de Liouville, elle est constante. Comme h(1)=0, on a h=0, c’est-à-dire g=0. Finalement, f=\Gamma.