Exposition : Mathématiques – un dépaysement soudain… ou pas

Posted on 1 décembre 2011 by Tukikun

Du 21 octobre 2011 au 18 mars 2012, la fondation Cartier propose une exposition appelée Mathématiques, un dépaysement soudain, et révèle un univers dans lequel les artistes ont accompagné les mathématiciens à travers 6 salles consacrées aux mathématiques. On trouvera sur le site officiel d’avantage de détails et un remerciement à toutes les personnes ayant créé cette exposition.

Comme le nom le suggère, il s’agit à travers cette exposition de faire partager la fascination et l’accomplissement devant les mathématiques. Lorsque je me suis rendu à cette exposition vers midi, il n’y avait pas grand monde. J’ai pu rentrer immédiatement (en tarif -26 ans, le pass éducation n’ouvrant pas de réduction particulière — ce qui, entre parenthèses, me semble assez étonnant) et recevoir la feuille A2 recto-verso qui détaillait l’exposition, format qui me semblait peu adapté. En fait, ce format s’explique par le fait qu’il n’y a aucune explication ailleurs que sur cette feuille…

J’ai commencé par les pièces de droite, où selon la feuille se trouvent la plupart des œuvres. On trouve un pavage de Penrose (sans explication, sauf si on essaye de lire la feuille dans l’atmosphère feutrée), une demi sphère dans laquelle sont projetées des démonstrations géométriques, ou la répartition des nombres premiers… malheureusement on ne peut regarder les deux ou trois films muets qui défilent au risque de boucher la pièce en restant au milieu. Sur la droite, est projeté sur un écran un film sur le Grand collisionneur de hadrons (LHC), où l’on parle du boson de Higgs. Nous avons un peu quitté le domaine des mathématiques, même si le sujet est intéressant, et encore une fois, on ne peut visionner tout le film en toute tranquillité. Sur la droite, des gens attendent pour voir les ergo-robots (aux têtes bizarres de David Lynch) qui explorent leur environnement, et en même temps inventent leur propre langage pour parler de ce qui les entoure. Malheureusement, il est difficile d’obtenir une information un peu moins vulgarisée de ce qui a été fait ici, de ce que signifie ce qui est projeté sur les parois au fond. De retour dans la pièces aux multiples exposés, on peut apercevoir sur un écran tactile, à coté d’un tableau noir, une application imaginée par Takeshi Kitano où l’on doit produire le nombre 2011 à l’aide des opérations élémentaires et des nombres entiers successifs et uniquement dans l’ordre croissant. On y trouve en mémoire les plus belles expressions (en six chiffres !).

De l’autre coté, une « bibliothèque des mystères » un peu cachée où sont projetées des citations de livre et où l’on trouve au plafond une fresque de dessins de l’infiniment petit à l’infiniment grand. Au sous sol, on tombe d’abord sur une fresque mentionant tous les travaux de Poincaré (et qui illustre donc la multitudes des sujets qu’il a abordé tout au long de sa vie), fresque qui ne raconte pas grand chose… En face, la main de Cedric Villani est filmée en train d’écrire une démonstration de la conjecture de Cercignani ; on a envie que la caméra recule, on ne peut pas suivre, puis on finit comme tout un chacun à regarder les traits sur le tableau noir. Dans la salle adjacente, un espace vide à l’exception au centre d’une surface de révolution à courbure négative constante, certes jolie (la pointe fait 2mm de diamètre) mais un peu perdue au milieu de cette grande pièce vide.
Au sous-sol encore, une salle de « cinéma » où des mathématiciens de toute nationalité expliquent quelque chose sur les mathématiques. Cette succession de morceaux de vies filmée par Raymond Depardon est très intéressante et bien réussie.

Et puis c’est tout.

J’ai retourné plusieurs fois la feuille pour essayer de voir si j’avais manqué la moitié de l’exposition mais non…

Je suis ressorti de l’exposition assez déçu. En 40 minutes, on a complètement fait le tour de l’exposition, on ressent un sentiment de vide et de place gâchée pour cette grande pièce ne contenant qu’une surface, alors qu’une dizaine d’autres (différentes) auraient largement eu la place de s’étendre et d’émerveiller les spectateurs. L’exposition est assez creuse, manque cruellement de petits panneaux explicatifs (le format A2 pour le dépliant explicatif étant peu adapté), plusieurs morceaux de l’exposition sont sans intérêt. Alors certes, on évite les habituels exposés que l’on peut voir ailleurs (nombre d’or, etc.), mais il n’y a pas grand chose qui parle au public (qu’il soit mathématicien ou non). À la sortie, à 13h, beaucoup de gens faisaient la queue…

Sujets liés :
- un commentaire positif sur Image des Mathématiques
- un commentaire peu enthousiaste

Modéliser le trafic routier : introduction aux lois de conservation hyperboliques (1)

Posted on 10 août 2011 by Valvino

Il est assez facile de créer des modèles qui simulent le trafic routier. Bien que trop simpliste, et donc irréaliste, ces modèles constituent une bonne introduction à la théorie des lois de conservations hyperboliques.

L’équation de base

On va supposer que la route est une ligne droite sans début ni fin (pas très réaliste donc). Il n’y a qu’une seule voie : les voitures ne peuvent pas se doubler; si une voiture est bloquée elle bloque les voitures derrière elle. On modélise donc la route par la droite des réels $\mathbf R$ .

On note $v(t,x)$ la vitesse des voitures à l’instant $t$ au point $x$ et $\rho(t,x)$ la densité de voitures.

Le principe physique utilisé ici est simple : la variation du nombre de véhicule entre deux points $x_1$ et $x_2$ en un instant $t$ est égale à la différence des flux de voitures en $x_1$ (ce qui rentre) et $x_2$ (ce qui sort).

Le nombre de véhicule entre $x_1$ et $x_2$ à l’instant $t$ est égal à

$\displaystyle \int_{x_1}^{x_2} \rho(t,x) \mathrm dx$

donc sa variation est

$\displaystyle\partial_t \int_{x_1}^{x_2} \rho(t,x) \mathrm dx.$

Le flux étant par définition $v(t,x)\times \rho(t,x)$ on obtient d’après le principe physique

$\displaystyle\partial_t \int_{x_1}^{x_2} \rho(t,x) \mathrm dx = v(t,x_1)\rho(t,x_1)-v(t,x_2)\rho(t,x_2)$ .

Or par une formule d’intégration par parties on a

$\displaystyle v(t,x_1)\rho(t,x_1)-v(t,x_2)\rho(t,x_2) =-\int_{x_1}^{x_2} \partial_x [ v(t,x)\rho(t,x)] \mathrm dx$

d’où

$\displaystyle \partial_t \int_{x_1}^{x_2} \rho(t,x) \mathrm dx=-\int_{x_1}^{x_2} \partial_x [ v(t,x)\rho(t,x)] \mathrm dx$ .

Comme $x_1$ et $x_2$ ne dépendent pas du temps on a par les régles de dérivation des intégrales

$\displaystyle \partial_t \int_{x_1}^{x_2} \rho(t,x) \mathrm dx = \int_{x_1}^{x_2} \partial_t \rho(t,x) \mathrm dx$ .

Finalement on obtient

$\displaystyle \int_{x_1}^{x_2} [\partial_t \rho(t,x)+\partial_x(v(t,x)\rho(t,x))]\mathrm dx=0$ .

Comme le choix des points $x_1$ et $x_2$ est arbitraire on en déduit que ce qu’il y a sous l’intégrale est nul. On obtient donc l’équation

$\boxed{\partial_t \rho(t,x)+\partial_x(v(t,x)\rho(t,x)) =0}$ .

Choix du flux

L’équation ci-dessus a deux inconnues. Il faut donc rajouter une autre équation si on veut arriver à la résoudre. Le plus simple est de considérer que la vitesse est une fonction décroissante de la densité (plus il y a de voitures moins on peut rouler vite).

Par exemple, on peut considérer que lorsque la densité est presque nulle les voitures roulent à une vitesse maximale $v_{max}$ (typiquement 130 à l’heure) et que pour une certaine densité $\rho_{max}$ les voitures sont à l’arrêt (embouteillage).

Un candidat serait donc la fonction affine

$v(t,x)=v_{max}\left(1-\frac{\rho(t,x)}{\rho_{max}}\right)$

et on obtient l’équation aux dérivées partielles suivante :

$\boxed{\partial_t\rho(t,x)+\partial_x\left[v_{max}\left(1-\frac{\rho(t,x)}{\rho_{max}}\right)\rho(t,x)\right]=0}$ .

On a donc ici un modèle, extrêment simpliste certes, du traffic routier. Pour résoudre correctement ce problème, il faudra spécifier une condition initiale pour $\rho$ en $t=0$ .

Dans le prochain article nous verrons pourquoi le cadre classique des fonctions dérivables ne convient pas ici et comment y remédier.

Problème ouvert : normes bizarres

Posted on 6 mai 2011 by Sthar

Bonjour à tous !

Tukikun m’ayant laissé publier ici (surtout parce qu’il a la flemme de le faire lui même), je vous propose de résoudre un petit problème mathématique. Ce n’est pas une énigme, juste une question ouverte, dont l’énoncé est très simple pour quiconque ayant fait un peu de maths au niveau supérieur.

Le problème tourne autour des normes sur l’espace des fonctions continues de $[0,1]$ dans $\mathbb{R}$ .

On a par exemple la norme infini $||.||_\infty$ ou les normes $||. ||_p$ . Mais ces normes sont gentilles et ont le bon goût de préserver l’ordre (en un certain sens : si $|f| \le |g|$ , alors $||f|| \le ||g||$ ). D’autres normes, comme la norme ${\mathcal C}_1$ définie seulement sur les fonctions $\dots {\mathcal C}_1$ ne sont pas aussi gentilles, mais celle-ci n’est toujours pas un contre-exemple au problème, que je n’ai pas encore défini, mais j’y viens.

Ma question est alors simple : est-il possible de définir une norme sur notre espace telle qu’il existe une suite de fonction $f_n \ge 1$ convergent vers $0$ pour cette norme ?

Cela a l’air intuitivement faux, mais impossible de le démontrer.

On pourra supposer de plus que cette norme est continue pour la norme infini (et donc $||f|| \le \alpha||f||_\infty$ pour un certain $\alpha$ ) si cela peut aider que c’est impossible (ou pas, si cela peut aider à prouver l’existence).

Pour l’instant je ne suis parvenu seulement à montrer qu’une telle norme ne pouvait être une norme d’algèbre.

Donc avis aux amateurs de challenges, et toute ma gratitude en guise de prime.

Formule d’inversion d’Arazi

Posted on 21 avril 2011 by Tukikun

Alors que je travaille sur un sujet assez différent, je suis tombé sur une petite formule très amusante que je ne connaissais pas.

Quand $n$ est un nombre premier, l’inverse de $e$ modulo $n$ est donné par le petit théorème de Fermat :

$d=e^{-1}\pmod n = e^{n-2}\pmod n$

Mais quand $n$ n’est pas premier, le « truc » courant est d’appliquer la formule d’Azari qui relie $e^{-1}\pmod n$ et $n^{-1}\pmod e$ .

Soient $e$ et $n$ deux nombres positifs premiers entre eux. Si $e\wedge n=1$ , alors

$d=e^{-1}\pmod n = \dfrac{1+n(-n^{-1}\bmod e)}e$

On démontre cela très simplement en considérant $U=e(e^{-1}\bmod n)+n(n^{-1}\bmod e)$ , congru à $1$ modulo $e$ et modulo $n$ . Le théorème des restes chinois et un encadrement facile donnent alors $U=1+en$ ce qui permet de conclure.

Cette formule est attribuée à Arazi qui était le premier à tirer profit de ce théorème folklorique pour implémenter des inversions modulaires d’exposents RSA rapides sur un processeur cryptographique.

Musique et Pi

Posted on 20 mars 2011 by Tukikun

Le quatorze mars de l’année dernière, je vous parlais de la journée de Pi, qui bien évidemment, revient chaque année. Cette année, on peut trouver un très bel article sur le blog de Eljj sur ce même sujet.

Aujourd’hui je suis tombé sur une petite animation en flash que je souhaitais partager avec vous qui permet de mettre en musique les 10 000 premières décimales de pi… et c’est vous qui choisissez l’air que ça donnera puisque vous choissisez quelle note correspond à chaque chiffre. C’est sans grand intérêt, mais c’est marrant.

Et si vous arrivez à obtenir une jolie mélodie, n’hésitez pas à partager vos notes initiales !

Addendum: ça n’a rien à voir avec ce qui précède, mais j’en profite pour partager cette vidéo de guitare découverte récemment et que je trouve fort sympathique.

Kilomaths.com

Un autre blog de maths…