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La topologie, qu’est-ce que c’est?

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La topologie est la branche des mathématiques qui étudie des concepts comme la distance, la continuité, la notion de limite.

Prenons comme point de départ la notion de distance. À priori, rien de bien profond, cela ne dépasse pas le stade de mesurer avec une règle la distance qui sépare deux points. Cependant, les mathématiques s’autorisent à parler d’autres distances. Et elles ne sortent pas que de leur imaginaire tordu!

Tout le monde s’accorde à dire que sa maison est proche de celle de son voisin. Mais mettons-nous dans la peau d’un employé de France Telecom (pas trop sinon cela risque de mal tourner…). De son point de vue (les télécommunications), la maison de monsieur X peut être assez distante de celle de madame Y, alors qu’ils sont voisins! En effet, si X téléphone à Y pour convenir d’un rendez-vous galant, le signal passera par des centaines de kilomètres de câbles avant d’arriver. Supposons que X et Y habitent à Toulouse et que le signal passe par Paris. Alors on peut considérer du point de vue de France Telecom que la distance entre la maison de X et la mienne (j’habite en région parisienne) est plus petite que la distance entre la maison de X et celle de Y, qui sont pourtant voisins, car le signal met moins de temps pour aller de chez X à chez moi que de chez X à chez Y.

Cet exemple montre qu’il est pertinent de considérer d’autres notions de distance. À titre d’exemple, il existe une distance appelée distance SNCF sur le plan qui consiste à dire que la distance entre deux points P et Q du plan est égale à la distance usuelle si les deux points sont alignés avec l’origine O, et sinon égale à la somme de la distance entre P et O et la distance entre Q et O. Elle porte ce nom en référence au fait qu’il est souvent plus rapide de passer par une correspondance à Paris pour rejoindre deux villes de province par le train.

La distance entre P et Q est plus grande que celle entre P et R.

La distance entre P et Q est plus grande que celle entre P et R, au sens de la distance SNCF.

Citons une dernière distance sur le plan. Prenons le jeu d’échec. La tour ne se déplace qu’en ligne droite. La distance entre deux cases est donc la somme de la distance à parcourir horizontalement et de la distance à parcourir verticalement.

La distance entre la tour et la case marquée d'une croix rouge est de 9 cases.

La distance à parcourir pour la tour afin de rejoindre la croix rouge est de 9 cases.

Les mathématiques ont formalisé la notion de distance, afin de mieux les comprendre. On procède de la manière suivante : prenons un ensemble X de points (par exemples le plan ou l’espace). La distance entre deux points x et y de X est un nombre positif noté d(x,y) qui doit vérifier les trois propriétés suivantes :

  • d(x,y)=d(y,x) (la distance entre un premier point et un second est la même que la distance entre le second et le premier);
  • si d(x,y)=0 alors x=y et réciproquement (si la distance entre deux points est nulle, alors ces deux points sont les mêmes, et réciproquement);
  • d(x,y) \leq d(x,z)+d(z,y) (la distance entre deux points est toujours plus petite que la somme de la distance du premier point à un troisième et de la distance du troisième au deuxième).

La distance des échecs vue plus haut pourrait alors se formaliser en disant que la distance entre deux points du plan X=(x_1,x_2) et Y=(y_1,y_2) est

d(X,Y)=|y_1-x_1|+|y_2-x_2|.

Le lecteur consciencieux pourra démontrer que les trois propriétés sont  bien vérifiées. On peut remarquer une chose amusante au sujet de cette distance. Si on définit le cercle de rayon 1 comme l’ensemble des points dont la distance au centre est 1, alors ce cercle est… un carré!

Une fois cette notion de distance établie, la topologie s’intéresse à des concepts comme la notion de voisinage : comme définir proprement la notion d’être proche au sens d’une distance? Ou encore la notion de continuité : un phénomène entre deux ensembles muni d’une distance (pas nécessairement les mêmes) est dit continu si les conséquences varient peu (au sens de la distance considérée sur le deuxième ensemble)) lorsque les causes sont proches (au sens de la distance considérée sur le premier ensemble).

Les nombres complexes existent-ils ?

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Bon nombre d’élèves de terminale S se sont posés la question quand le prof a écrit au tableau l’égalité i^2=-1 : « mais les nombres complexes, ça n’existe pas! ».

Ce qu’il faut bien avoir en tête, c’est que les objets mathématiques sont construits, ils ne sortent pas de nulle part. La règle du jeu, c’est que l’on peut faire tout ce qu’on veut, du moment que la logique est respectée. Par exemple, les étudiants de premier cycle de mathématiques voient comment construire les ensembles des entiers relatifs, des rationnels, des nombres réels, ensembles dont personne ne conteste l’existence. Pourquoi ne pas construire d’autres ensembles que nous facilitent la vie? Certes, c’est souvent très abstrait : un réel peut être défini comme une classe d’équivalence de suite de Cauchy rationnelles modulo la relation d’équivalence « la différence tend vers zéro à l’infini« …

Ce qui est intéressant, c’est que bien que les complexes soient a priori les objets les moins intuitifs que les élèves du lycée rencontrent, la construction de l’ensemble des nombres complexes est beaucoup plus simple que celles des autres ensembles de nombres. Je propose de l’exposer dans les grandes lignes ici.

Un nombre complexe est défini par sa partie réelle et sa partie imaginaire. On a donc envie de dire qu’un nombre complexe, c’est plus ou moins un couple de réels. C’est une bonne piste. On définit donc un nombre complexe z comme un couple de nombre réels : z=(a,b).

Après, on veut additionner deux nombres complexes. Ça tombe bien, on dispose d’une addition naturelle sur les couples de nombres réels : on additionne coordonnée par coordonnées On pose donc
z_1+z_2=(a_1,b_1)+(a_2,b_2)=(a_1+a_2,b_1+b_2).
Maintenant, on veut définir une multiplication. On pose alors
z_1 \times z_2 =(a_1,b_1)\times (a_2,b_2)=(a_1 a_2-b_1b_2,a_1b_2+b_1a_2).
Certes ça parait sortir de nulle part, mais en fait ces formules ont été établies empiriquement en faisant des calculs, et ici le but est de faire une justification formelle. On pose donc la multiplication comme on a envie qu’elle soit sur les nombres complexes.

Ensuite, il suffit de remarquer que
(0,1)^2=(0,1)\times (0,1)=(0\times 0- 1 \times 1, 0\times 1+1 \times 0)=(-1,0).
Cela devient intéressant! On a donc envie de poser i=(0,1).

Je passe sur les détails, mais on identifie le nombre complexe (a,0) avec le nombre réel a, et on montre alors que tout nombre complexe s’écrit de manière unique comme z=a+ib avec a,b des nombres réels. Et on montre enfin que les nombres complexes ont les bonnes propriétés (ils sont inversibles, les lois définies plus haut sont compatibles avec celles sur les nombres réels, etc…).

Voilà donc comment construire facilement les nombres complexes. Je profite de cet article pour dire à quel point je regrette que ce genre de chose ne soit plus au programme du lycée. Cela ne me semble pas très difficile, les cours de maths feraient moins recettes miracles de cuisine, et surtout cela soulignerait la vraie nature des maths : ce n’est pas que du calcul, mais surtout l’étude rigoureuse d’objets construit logiquement.

Pour approfondir, je vous conseille cette page où il y a des réflexions sur la construction des mathématiques, et la page Wikipédia sur la construction des nombres complexes.

Pourquoi nous ne connaîtrons jamais vraiment les nombres réels

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Introduction

L’histoire des mathématiques est jonchée de construction de nouveaux ensembles de nombres afin de pouvoir effectuer des calculs qui n’étaient pas possible auparavant.

À partir des entiers naturels (0,1,2,3,…), les entiers relatifs (…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…) sont apparus, afin de pouvoir rendre compte de phénomènes comme les dettes (le fameux découvert qui vous donne des sueurs froides, et fâche votre banquier) ou encore la température.

À partir des entiers relatifs, on a inventé les rationnels pour les problèmes de partages (comment partager 10 euros avec 3 personnes, source de tension au restaurant). Ce sont les fractions bien connues des collégiens (1/2, -3/77, etc…).

À partir des rationnels, la nécessité de nouveaux nombres est moins claire. Cependant, les grecs avaient déjà remarqué que la longueur de la diagonale d’un carré de longueur 1 (la fameuse racine de 2) ne peut pas s’exprimer comme un rationnel a/b (pour une démonstration, voir la fin de l’article). Les rationnels ne suffisent donc pas à décrire la réalité.

On a donc construit les nombres réels, et les mathématiciens sont contents (pas tout à fait, on a encore construit de nouveaux ensembles, notamment les nombres complexes). Pour faire simple, un réel se définit comme un nombre avec une infinité de chiffres après la virgule (qui peuvent être nuls). Même si la construction mathématique est beaucoup plus abstraite (un réel est une classe d’équivalence de suites de Cauchy rationnelles pour la relation d’équivalence « la différence tend vers 0 à l’infini », gloups !), cette vision des choses conviendra pour la suite.

Mais il est apparu que l’ensemble des nombres réels est extrêmement vaste, et contient des nombres monstrueux, non par leur taille, mais tout simplement parce que nous ne pouvons pas les calculer ! Et pire encore, ces nombres sont infiniment plus nombreux que les nombres calculables (dans un sens qui sera précisé plus loin)…

Ensembles dénombrables

La première référence d’ensemble infini dont nous disposons est l’ensemble des entiers naturels N, qui va nous servir de référence. Pour exprimer l’idée qu’un ensemble infini E à la même taille que N, on exige que l’on puisse faire correspondre à chaque élément de E un unique entier naturel. Autrement dit, que l’on peut lister les éléments de E, les classer dans un ordre précis (le premier, le deuxième, etc…). Mathématiquement, on dit que N et E sont en bijection. Si c’est le cas, E est dit dénombrable, le terme pour dire que E et N ont la même taille.

On peut se demander si l’ensemble Z des entiers relatifs est dénombrable. A priori non, car Z semble avoir une infinité d’éléments en plus (-1, -2, -3, etc…) par rapport à N, donc est plus gros. Cependant, on peut énumérer les éléments de Z de la manière suivante : 0 est le premier, 1 est le deuxième, -1 le troisième, 2 le quatrième, -2 le cinquième, etc… Ceci montre que les éléments de Z peuvent être énuméré, et donc que Z est dénombrable.

On peut ensuite se demander si l’ensemble Q des rationnels est dénombrable. A priori encore, non car cette fois-ci, entre chaque entier, on peut mettre une infinité de rationnels. Par exemple, entre 0 et 1 on peut mettre 1/2, 1/3, 1/4, etc… mais aussi 2/3, 4/5, etc… Mais il n’en est rien. On peut lister les rationnels. Je n’expose pas les détails de la démonstration, mais le graphique suivant me semble assez parlant :

irrationnels

Maintenant, si je vous demande si les nombres réels sont dénombrables, vous sentez le coup venir et vous allez me répondre oui. Mais la réponse est non. La démonstration est pour moi l’une des plus belles de toutes les mathématiques, vous la trouverez en fin d’article. Elle suit ce qu’on appelle l’argument de la diagonale de Cantor, le premier mathématicien à avoir exploré les concepts exposés ici.

L’ensemble des nombres réels est donc vraiment plus gros que l’ensemble des entiers naturels, des entiers relatifs et des rationnels.

Nombres calculables

Pour nous, nous dirons qu’un nombre réel est calculable s’il existe un algorithme permettant d’exhiber autant de chiffres après la virgule que nous le souhaitons. Un algorithme est un énoncé d’une suite d’opérations précises et fixées permettant de donner la réponse à un problème. Par exemple, vous connaissez (ou avez connu) l’algorithme permettant de calculer les décimales d’un rationnel, à travers la division, grande joie des écoliers. Ceci montre au passage que les rationnels sont calculables.

De nombreux réels utilisés en pratique sont calculables. Par exemple, pour calculer la racine de 2 on peut toujours prendre un entier, l’élever au carré puis essayer de corriger la différence avec 2 pour s’en rapprocher et itérer le résultat (vous trouverez un tel algorithme en fin d’article). De nombreux autres réels utiles, comme le nombre pi sont calculables.

Ce qui est remarquable, c’est que l’ensemble des nombres calculables est dénombrable ! En effet, un algorithme peut être exprimé dans un langage de programmation (par exemple le C++). Un langage de programmation s’exprime avec un nombre fini de caractère (pour l’exemple, disons 50), et un algorithme est un ensemble fini de caractères. L’ensemble des algorithmes possibles (qui contient l’ensemble des algorithmes permettant de calculer les réels) est donc la réunion de tous les algorithmes finis.

Plus précisément, pour une longueur n de caractères, l’ensemble A_n des algorithmes possibles a pour taille 50^n. L’ensemble des algorithmes possibles est donc la réunion des ensembles A_0, A_1, A_2, etc… Ce qui est remarquable, c’est que une réunion d’un nombre dénombrable de fois d’ensembles finis est encore dénombrable (pour une démonstration, voir en fin d’article). Ceci montre que les nombres calculables sont dénombrables.

Conclusion

L’ensemble des nombres réels n’étant pas dénombrable, alors que l’ensemble des nombres calculables l’est. Ceci montre qu’il existe des nombres non calculables, et même que ces nombres sont beaucoup plus nombreux que les nombres calculables. Il est donc vain de vouloir connaître précisément l’ensemble des nombres réels, ce qui fait que c’est un objet très compliqué… Bien souvent, les constructions mathématiques se révèlent plus riches que prévues.

Pour aller plus loin, je vous invite à lire les articles suivants :

Annexe: démonstrations

Vous pouvez retrouvez toutes les démonstrations dans ce document PDF.