Bonjour à tous !

Tukikun m’ayant laissé publier ici (surtout parce qu’il a la flemme de le faire lui même), je vous propose de résoudre un petit problème mathématique. Ce n’est pas une énigme, juste une question ouverte, dont l’énoncé est très simple pour quiconque ayant fait un peu de maths au niveau supérieur.

Le problème tourne autour des normes sur l’espace des fonctions continues de dans .

On a par exemple la norme infini ou les normes . Mais ces normes sont gentilles et ont le bon goût de préserver l’ordre (en un certain sens : si , alors ). D’autres normes, comme la norme définie seulement sur les fonctions ne sont pas aussi gentilles, mais celle-ci n’est toujours pas un contre-exemple au problème, que je n’ai pas encore défini, mais j’y viens.

Ma question est alors simple : est-il possible de définir une norme sur notre espace telle qu’il existe une suite de fonction convergent vers pour cette norme ?

Cela a l’air intuitivement faux, mais impossible de le démontrer.

On pourra supposer de plus que cette norme est continue pour la norme infini (et donc pour un certain ) si cela peut aider que c’est impossible (ou pas, si cela peut aider à prouver l’existence).

Pour l’instant je ne suis parvenu seulement à montrer qu’une telle norme ne pouvait être une norme d’algèbre.

Donc avis aux amateurs de challenges, et toute ma gratitude en guise de prime.

Alors que je me promenais sur la page consacrée à sa classe de MPSI, je suis tombé sur un petit document de PB présentant brièvement le langage Python pour faire des calculs sur ordinateur… Ça m’a rappelé (avec émotion je dois avouer) mes débuts en programmation, lorsque je faisais des programmes php pour calculer la suite de Fibonnaci, factoriser un nombre, etc.

Je voulais donc profiter de ce message pour vous présenter un fabuleux système de calcul formel, PARI/GP, qui est principalement utilisé en théorie des nombres mais qui contient beaucoup de fonctions utiles en mathématiques. De plus, il est libre et distribué selon les termes de la licence publique générale GNU. Il est développé par des français de l’université de Bordeaux I.

PARI/GP est avant tout destiné aux théoriciens des nombres, mais peut-être utilisé avec profit dans d’autres cas (algèbre linéaire, arithmétique, etc.). Il est composé de deux parties :

• PARI : bibliothèque écrite en C, mais qui peut-être appelée d’un langage haut niveau (Python, C++, Perl, etc.)
• gp : interface en ligne de commande permettant l’accès aux fonctions de PARI. Le langage utilisé ressemble à du C.

Les calculs sont effectués en précision arbitraire. Il est également très utilisé en cryptologie (vérification qu’un nombre est premier via l’algorithme AKS, calculs sur les courbes elliptiques, algorithme LLL, etc.). En revanche, ses capacités d’intégration et de dérivation sont moins efficaces que des logiciels de calcul formel comme Xcas, Maple ou Mathematica. Il a également une fonction « graphique » qui me semble limitée (mais j’avoue ne pas avoir regardé si il y avait une possibilité d’interaction avec gnuplot ou autre.).

Mieux que de faire encore de nombreux discours, voici quelques exemples d’utilisation. Dans votre terminal, tapez gp pour accéder à l’interface GP pour PARI.

« Hello World » en PARI/GP

Dans tous les langages de programmation, on commence par une telle application, donc je ne déroge pas à la règle:
print("Hello World")
Aucune difficulté, aucun commentaire.

Une boucle en PARI/GP

Montrons la syntaxe d’une boucle for :
for(i=0, 5, print(i))
Ceci affiche les entiers de 0 à 5 à la ligne.

Pour avoir de l’aide sur une fonction, on peut taper ?for et on obtient :
for(X=a,b,seq): the sequence is evaluated, X going from a up to b.

De même, lorsque l’on cherche une fonction dont on ne connaît pas exactement le nom, on peut chercher avec trois points d’interrogations. Exemple :

???matker

retourne

bnfsignunit idealintersect matinverseimage matker
matkerint

Calcul avec des nombres premiers

La fonction isprime est une fonction déterministe (via l’algorithme AKS) qui détermine si un nombre est premier. Jusquà 500 bits de longueur, le calcul est encore rapide pour la primalité :
isprime(2^(501)-1)
retourne 1 en 310 ms environ (pour obtenir le temps de calcul, taper ## après votre dernière opération), alors qu’il met plus de 5 secondes pour un nombre premier de 1024 bits.

D’ailleurs une manière facile d’obtenir un nombre premier aléatoire est d’utiliser la fonction nextprime qui donne le nombre premier qui suit l’argument donné. Par exemple

nextprime(2^(1024)+random(2^(1024)-1))

renvoit le nombre

179769313486231590782518276703737196373630355166285016700028966421710165488969543617
6526889863117584648152455111700332203590123411794386808044158416082415271352025604694004045
5111003982745778025452513076910528815189617790566856810276323839016028883085338806026638240
6524494940761227538110799658431716130780389

qui est un nombre premier de 1024 bits.

Calculs matriciels

On peut faire facilement avec PARI/GP de l’algèbre linéaire. Par exemple :
C=matid(5); C[1,3]=9; C[2,5]=6; b=[1,2,0,1,1];
ne renvoit rien (à cause des ;) mais a bien enregistré la matrice C que l’on peut afficher :
[1 0 5 0 0]
[0 1 0 0 6]
[0 0 1 0 0]
[0 0 0 1 0]
[0 0 0 0 1]

et le vecteur b.

On peut alors demander de résoudre l’équation d’inconnue :

a=matsolve(C, b~)

qui renvoit

[1, -4, 0, 1, 1]~

Et on peut vérifier par

C*a-b~

qui renvoit bien le vecteur nul.

Notez que le signe ~ représente la transposition, et que PARI/GP différentie les vecteurs colonnes et lignes. On peut également accéder à la première ligne de la matrice C[1,] ou sa cinquième colonne C[,5].

Procédures en PARI/GP

On peut bien évidemment faire plusieurs opérations en même temps avec des procédures. Par exemple, on peut mettre le code suivant dans un fichier chiffres.gp (dans le dossier où vous êtes avec le terminal, ou on lui donne l’adresse complète)
Chiffres(d,l,n)=
{
local(i,m,v);

m=n;
v=vector(l);
for(i=0, l-1, v[l-i]=m%d; m=floor(m/d););
return(v)
}

et demander à PARI/GP de lire ce fichier :
\r chiffres.gp

Il suffira ensuite d'appeler

Chiffres(3, 4, 28)

pour obtenir dans un vecteur de taille 4, la décomposition de 28 en base 3. Autrement dit,

[1, 0, 0, 1]

Finalement, ces exemples reflètent que peu la puissance de PARI/GP que je vous encourage à découvrir sur le site officiel, et qui est un formidable outil qui peut être très utile. Bien entendu vous pouvez calculer dans des corps finis, sur , manipuler des polynômes, des fractions rationnelles, les corps de nombres, les fonctions de Bessel, etc.)

Et pour finir, une jolie fonction tracée grâce à plot :

Dans le cadre de mes études, j’ai effectué un stage à la Nanyang Technological University de Singapour en juin et juillet dernier, dans la School of Physical and Mathematical Science, c’est-à-dire le bâtiment réservé aux mathématiques, à la physique, à la chimie et à la chimie biologique. Cette université est très récente, et le bâtiment dans lequel je me trouvais était neuf (construit en 2007, 38000 m², ouvert officiellement en juin 2009), très moderne, très grand, très beau : des conditions optimales pour travailler. Je n’étonnerai personne lorsque je révélerai que je n’ai rencontré qu’un seul Singapourien à l’université parmi les post-doc, professeurs, chercheurs et thésards. Cette université se sert du fait que Singapour est une pierre angulaire du commerce mondial pour en faire un rayonnement culturel international au niveau des sciences. Il est connu que les universités singapouriennes viennent aux congrès de mathématiciens (par exemple) avec des liste de 40 postes à pourvoir (ce qui est du jamais vu !).

J’ai rencontré de nombreuses personnes : des allemands, chinois, malais, indiens, turques, israéliens, suisses, américains, etc. C’est une expérience extraordinaire d’être en contact avec des gens de toute la terre, de discuter avec eux, de découvrir d’autres cultures, et de travailler ensemble. Des millions de dollars sont investis dans les universités à Singapour pour en faire des pôles d’excellence : la ville-État mise énormément sur la recherche et l’enseignement pour garder son avance sur les autres pays asiatiques, et s’immiscer au même niveau que l’Occident. Occident, qui soit-dit en passant, est très présent là bas dans la vie de tous les jours. Singapour est un étonnant mélange entre l’extrêmement moderne (Ion Orchard, Marina Bay Sands : le dernier hôtel casino, lubie du multi-milliardaire juif Sheldon Adelson) et le plus traditionnel, voire ressemblant aux pays en voie de développement (temples indiens, quartiers de petites maisons, superstition chinoise, etc.)… Mais le gouvernement lutte actuellement pour que les jeunes ne s’occidentalisent pas trop.

J’étais à l’université pendant les vacances scolaires de là bas, donc je n’ai pas vu l’effervescence des étudiants (excepté les remises de diplômes — correspondant à nos licences européennes — qui se déroulaient comme l’on voit dans les films américains), mais il y avait quand même beaucoup de personne dans l’immense campus, qui travaillent dans les différentes universités.

Au niveau des mathématiques, là-bas on travaille les mathématiques technologiques, pratiques. Dans l’autre université (très connue) de Singapour, la NUS, il y a plus de mathématiques « pures ». Le département de cryptologie est très développé et on trouve de nombreuses personnes qui travaillent dessus : mathématiciens, informaticiens, ingénieurs, etc. Cependant malgré cette effervescence, d’un point de vue extérieur, le cadre ne semblait pas du tout stressant : les conditions de travail sont très bonnes — bureaux clairs, environnement vert, climatisation (ô combien nécessaire), une grande bibliothèque, proximité des laboratoires de recherche avec les bureaux personnels des professeurs, salles de discussions, nombreux séminaires, et un calme qui vous transperce complètement et propice au travail…

Là-bas j’ai travaillé sur le partage de secret en cryptologie, qui a fait l’objet d’un article précédent sur ce blog.

Un séjour très instructif et agréable (excepté le climat pas très accueillant : chaud et humide, très humide, trop humide… équatorial !).