Category Archives: Curiosités

Formule d’inversion d’Arazi

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Alors que je travaille sur un sujet assez différent, je suis tombé sur une petite formule très amusante que je ne connaissais pas.

Quand n est un nombre premier, l’inverse de e modulo n est donné par le petit théorème de Fermat :

d=e^{-1}\pmod n = e^{n-2}\pmod n

Mais quand n n’est pas premier, le « truc » courant est d’appliquer la formule d’Azari qui relie e^{-1}\pmod n et n^{-1}\pmod e.

Soient e et n deux nombres positifs premiers entre eux. Si e\wedge n=1, alors

d=e^{-1}\pmod n = \dfrac{1+n(-n^{-1}\bmod e)}e

On démontre cela très simplement en considérant U=e(e^{-1}\bmod n)+n(n^{-1}\bmod e), congru à 1 modulo e et modulo n. Le théorème des restes chinois et un encadrement facile donnent alors U=1+en ce qui permet de conclure.

Cette formule est attribuée à Arazi qui était le premier à tirer profit de ce théorème folklorique pour implémenter des inversions modulaires d’exposents RSA rapides sur un processeur cryptographique.

Démonstration physique du théorème de Pythagore

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Je voulais faire un billet sur les démonstrations du théorème de Pythagore, mais j’ai eu des soucis avec la rigueur. Soit on se plonge dans les méandres de l’axiomatique euclidienne, et c’est l’horreur, soit c’est plus ou moins du pipeau.

Donc quitte à pipeauter, autant le faire bien. Je suis tombé sur cette démonstration du théorème de Pythagore :



Water-proof of Pythagoras’ Theorem

Convaincu?

Bien sûr, ça ne démontre rien du tout, car le triangle est particulier et on ne peut pas vérifier si ces quantités sont à 100% les mêmes. Cependant, de nombreuses démonstrations trouvées sur le net sont aussi discutables. Par exemple, elles utilisent souvent l’argument hautement non trivial que la somme des angles d’un triangle est de 180°. Or cet énoncé est équivalent au théorème de Pythagore. Pour être vraiment rigoureux, il faudrait partir d’une bonne axiomatique (celle d’Hilbert par exemple). Mais comme on dit, cela dépasse le cadre de ce blog !