Par exemple, on utilise l’algorithme CORDIC (COordinate Rotation DIgital Computer) inventé en 1959 par Jack E. Volder. Détaillons-le sommairement.

On se donne un angle en radian (que l’on suppose compris entre 0 et , on peut toujours s’y ramener par des formules trigonométriques du genre , etc…). On va calculer par itération un vecteur qui représente un point sur le cercle unité. Pour cela, on lui fait subir des rotations d’angles choisis judicieusement, par exemple tels que . L’avantage est qu’en binaire la multiplication par revient à un simple décalage de virgule. Le vecteur , d’angle correspondant , convergera alors vers la valeur exacte , d’angle correspondant .

On a donc une relation de récurrence du type

d’où en factorisant par

où (sens de la rotation). On le calcule en regardant le signe de l’angle actuel .

Il suffit alors d’avoir en mémoire les différentes valeurs de (on peut même utiliser l’approximation pour un peu grand) pour se retrouver avec un algorithme qui n’utilise que des additions, des décalages de virgules et une seule multiplication finale par

valeurs que l’on peut aussi stocker à l’avance. Malin, non?

On peut généraliser ce genre de procédés. Pour plus d’informations : http://en.wikipedia.org/wiki/CORDIC

• l’entier 1 est-il premier ?
• doit-on considérer les ensembles finis comme dénombrables ?
• pour ou contre l’axiome du choix ?
• qui a inventé le calcul différentiel? Newton ou Leibniz ?
• les statistiques font-elles parties des mathématiques ?
• est-ce que la façon d’aborder les mathématiques de Bourbaki est LA bonne façon de procéder ?

En connaissez-vous d’autres ?

Voici quelques propositions des commentaires :

• Dans Bourbaki, un espace quasi-compact est un espace topologique vérifiant la propriété de Borel-Lebesgue. Un espace compact est un espace quasi-compact séparé. Par contre, dans les textes mathématiques écrits en anglais, un espace est compact n’est pas nécessairement séparé. Quid ?
• La définition de est erronée, et l’erreur s’est perpétuée depuis l’antiquité.
• Une forme sesquilinéaire est-elle linéaire à gauche ou à droite?
• Dans les coordonnées sphériques, que désignent et ?
• Combien vaut ?
• Est-ce que les notions d’ « application » et de « fonction » sont identiques ?
• L’espace topologique vide est-il connexe ?
• Quelle est la dimension de Krull de l’anneau nul ?
• La suite « converge-t-elle » ou « diverge-t-elle » vers l’infini ?
• …

On définit une topologie sur en disant que les ouverts sont le vide et les vérifiant que pour tout entier , il existe un entier tel que . Il est clair que la réunion quelconque d’ouverts est un ouvert. De plus, si sont des ouverts, ou bien l’intersection est vide et est un ouvert, ou bien pour , on a , avec  des entiers tels que et . Finalement,  est un ouvert. On a donc bien une topologie sur .

On remarque d’une part que tout ouvert non vide est infini (car par définition il contient un ensemble infini), et d’autre part que tout ensemble du type , avec des entiers (), est un fermé. En effet, on a

c’est donc le complémentaire d’un ouvert.

Comme tout entier différent de 1 et -1 admet un diviseur premier, on a

où la réunion se fait sur tous les nombres premiers . S’ils étaient en nombre fini, serait fermé comme réunion finie d’ensembles fermés. Par passage au complémentaire, serait ouvert, ce qui est absurde car c’est un ensemble fini non vide. Il existe donc une infinité de nombres premiers.

Joli, non?

On dispose de plusieurs caractérisations de cette fonction. Citons le théorème de Bohr-Mollerup :

Soit une fonction telle que

1. ;
2. pour tout ;
3. est log-convexe, c’est-à-dire que est une fonction convexe.

Alors pour tout .

On dispose d’une autre caractérisation, il s’agit du théorème de Wielandt :

Soit une fonction holomorphe sur telle que

1. ;
2. pour tout ;
3. est bornée dans la bande .

Alors pour tout .

Je me propose de faire une esquisse de la démonstration.

On remarque tout d’abord que l’on peut étendre sur l’ensemble des nombres complexes privés des entiers négatifs ou nul par 2. en suivant la même méthode que pour la fonction gamma. Ensuite, on remarque avec 1. que les résidus aux pôles sont les mêmes que ceux de la fonction gamma. Ainsi, la fonction est une fonction entière.

Ensuite, on remarque que est bornée sur la bande . Pour cela, il suffit de remarquer que c’est le cas sur la bande , en faisant une majoration explicite sur la formule définissant . On utilise ensuite 2. pour se ramener à la bande , le problème en 0 étant effaçable par 1.

Enfin, on pose .  Par ce qui précède, c’est une fonction entière bornée dans la bande . De plus, , ce qui montre que est une fonction bornée sur l’ensemble des nombres complexes. Par le théorème de Liouville, elle est constante. Comme , on a , c’est-à-dire . Finalement, .

1. ne pas lever le stylo;
2. ne pas repasser par dessus la ligne;
3. refermer la ligne sur elle-même à la fin.

Une ligne respectant les conditions.

Le théorème de Jordan vous dit alors que vous avez découpé votre feuille en deux parties d’un seul bloc, avec une partie finie et l’autre infinie (si on considère que le papier pourrait être aussi grand que l’on veut). Et là bien sûr vous vous dites qu’il ne faut pas sortir de Polytechnique pour établir des résultats aussi évidents… Hé bien, en dépit de son apparente simplicité, ce théorème est très difficile à démontrer. Tout réside dans le fait qu’il existe des lignes dans le plan très vicieuses…

Commençons par énoncer rigoureusement le théorème. Tout d’abord, on définit une courbe (c’est-à-dire une ligne) comme une fonction qui part de l’intervalle et qui va dans le plan. D’une certaine manière, peut être vu comme le temps (0 le début du tracé, 1 la fin) et le point tracé exactement à l’instant . On exige que cette fonction soit continue (la condition de ne pas lever le stylo), ainsi la courbe est « en un seul morceau ». De plus, on veut que la courbe se referme sur elle-même à la fin, donc on exige . Enfin, il ne faut pas que la courbe repasse sur elle-même, on veut donc que à deux instants et qui ne sont pas exactement 0 et 1. On a donc une condition d’injectivité de la courbe (la courbe doit être injective sur et ). Les courbes ainsi définies portent le doux nom de courbes de Jordan.

Comment formaliser le concept d’être « d’un seul bloc »? On dit qu’une partie du plan est connexe (c’est-à-dire d’un seul bloc) si on peut toujours passer d’un point de cette partie à un autre par une courbe continue.

La partie A est connexe, alors que B ne l'est pas.

Rappelons que le complémentaire d’une partie du plan est tout simplement la partie du plan constituée des points qui ne sont pas dans la première. Deux parties du plan sont dites disjointes si elles n’ont pas de points en commun. Enfin, une partie du plan est dite bornée quand on peut l’inclure dans un disque de rayon fini.

On peut alors énoncer correctement le théorème de Jordan :

Le complémentaire d’une courbe de Jordan est constitué de deux parties connexes qui sont disjointes. L’une est bornée, et l’autre non.

Pourquoi ce théorème est-il si difficile à démontrer? Tout simplement parce qu’il existe des courbes de Jordan très vicieuses. Comme exemple, prenons une courbe de Jordan de type fractale appelée flocon de von Koch. Sans rentrer dans les détails, c’est une courbe obtenue en itérant une infinité de fois le procédé décrit dans l’animation suivante :

Les premières étapes de la construction du flocon de von Koch.

Le problème de ce genre de courbe est qu’il est difficile de savoir si deux points peuvent être reliés par une courbe continue qui ne passe pas par dessus le flocon à cause des innombrables radicelles que forme la courbe. C’est ce qui fait la difficulté de ce théorème!

Pour plus d’informations, vous pouvez consulter le très bon article wikipédia sur le sujet.

Prenons comme point de départ la notion de distance. À priori, rien de bien profond, cela ne dépasse pas le stade de mesurer avec une règle la distance qui sépare deux points. Cependant, les mathématiques s’autorisent à parler d’autres distances. Et elles ne sortent pas que de leur imaginaire tordu!

Tout le monde s’accorde à dire que sa maison est proche de celle de son voisin. Mais mettons-nous dans la peau d’un employé de France Telecom (pas trop sinon cela risque de mal tourner…). De son point de vue (les télécommunications), la maison de monsieur X peut être assez distante de celle de madame Y, alors qu’ils sont voisins! En effet, si X téléphone à Y pour convenir d’un rendez-vous galant, le signal passera par des centaines de kilomètres de câbles avant d’arriver. Supposons que X et Y habitent à Toulouse et que le signal passe par Paris. Alors on peut considérer du point de vue de France Telecom que la distance entre la maison de X et la mienne (j’habite en région parisienne) est plus petite que la distance entre la maison de X et celle de Y, qui sont pourtant voisins, car le signal met moins de temps pour aller de chez X à chez moi que de chez X à chez Y.

Cet exemple montre qu’il est pertinent de considérer d’autres notions de distance. À titre d’exemple, il existe une distance appelée distance SNCF sur le plan qui consiste à dire que la distance entre deux points P et Q du plan est égale à la distance usuelle si les deux points sont alignés avec l’origine O, et sinon égale à la somme de la distance entre P et O et la distance entre Q et O. Elle porte ce nom en référence au fait qu’il est souvent plus rapide de passer par une correspondance à Paris pour rejoindre deux villes de province par le train.

La distance entre P et Q est plus grande que celle entre P et R, au sens de la distance SNCF.

Citons une dernière distance sur le plan. Prenons le jeu d’échec. La tour ne se déplace qu’en ligne droite. La distance entre deux cases est donc la somme de la distance à parcourir horizontalement et de la distance à parcourir verticalement.

La distance à parcourir pour la tour afin de rejoindre la croix rouge est de 9 cases.

Les mathématiques ont formalisé la notion de distance, afin de mieux les comprendre. On procède de la manière suivante : prenons un ensemble de points (par exemples le plan ou l’espace). La distance entre deux points et de est un nombre positif noté qui doit vérifier les trois propriétés suivantes :

• (la distance entre un premier point et un second est la même que la distance entre le second et le premier);
• si alors et réciproquement (si la distance entre deux points est nulle, alors ces deux points sont les mêmes, et réciproquement);
• (la distance entre deux points est toujours plus petite que la somme de la distance du premier point à un troisième et de la distance du troisième au deuxième).

La distance des échecs vue plus haut pourrait alors se formaliser en disant que la distance entre deux points du plan et est

Le lecteur consciencieux pourra démontrer que les trois propriétés sont  bien vérifiées. On peut remarquer une chose amusante au sujet de cette distance. Si on définit le cercle de rayon 1 comme l’ensemble des points dont la distance au centre est 1, alors ce cercle est… un carré!

Une fois cette notion de distance établie, la topologie s’intéresse à des concepts comme la notion de voisinage : comme définir proprement la notion d’être proche au sens d’une distance? Ou encore la notion de continuité : un phénomène entre deux ensembles muni d’une distance (pas nécessairement les mêmes) est dit continu si les conséquences varient peu (au sens de la distance considérée sur le deuxième ensemble)) lorsque les causes sont proches (au sens de la distance considérée sur le premier ensemble).

Ce qu’il faut bien avoir en tête, c’est que les objets mathématiques sont construits, ils ne sortent pas de nulle part. La règle du jeu, c’est que l’on peut faire tout ce qu’on veut, du moment que la logique est respectée. Par exemple, les étudiants de premier cycle de mathématiques voient comment construire les ensembles des entiers relatifs, des rationnels, des nombres réels, ensembles dont personne ne conteste l’existence. Pourquoi ne pas construire d’autres ensembles que nous facilitent la vie? Certes, c’est souvent très abstrait : un réel peut être défini comme une classe d’équivalence de suite de Cauchy rationnelles modulo la relation d’équivalence « la différence tend vers zéro à l’infini« …

Ce qui est intéressant, c’est que bien que les complexes soient a priori les objets les moins intuitifs que les élèves du lycée rencontrent, la construction de l’ensemble des nombres complexes est beaucoup plus simple que celles des autres ensembles de nombres. Je propose de l’exposer dans les grandes lignes ici.

Un nombre complexe est défini par sa partie réelle et sa partie imaginaire. On a donc envie de dire qu’un nombre complexe, c’est plus ou moins un couple de réels. C’est une bonne piste. On définit donc un nombre complexe comme un couple de nombre réels : .

Après, on veut additionner deux nombres complexes. Ça tombe bien, on dispose d’une addition naturelle sur les couples de nombres réels : on additionne coordonnée par coordonnées On pose donc

Maintenant, on veut définir une multiplication. On pose alors

Certes ça parait sortir de nulle part, mais en fait ces formules ont été établies empiriquement en faisant des calculs, et ici le but est de faire une justification formelle. On pose donc la multiplication comme on a envie qu’elle soit sur les nombres complexes.

Ensuite, il suffit de remarquer que

Cela devient intéressant! On a donc envie de poser .

Je passe sur les détails, mais on identifie le nombre complexe avec le nombre réel , et on montre alors que tout nombre complexe s’écrit de manière unique comme avec des nombres réels. Et on montre enfin que les nombres complexes ont les bonnes propriétés (ils sont inversibles, les lois définies plus haut sont compatibles avec celles sur les nombres réels, etc…).

Voilà donc comment construire facilement les nombres complexes. Je profite de cet article pour dire à quel point je regrette que ce genre de chose ne soit plus au programme du lycée. Cela ne me semble pas très difficile, les cours de maths feraient moins recettes miracles de cuisine, et surtout cela soulignerait la vraie nature des maths : ce n’est pas que du calcul, mais surtout l’étude rigoureuse d’objets construit logiquement.

Pour approfondir, je vous conseille cette page où il y a des réflexions sur la construction des mathématiques, et la page Wikipédia sur la construction des nombres complexes.

Donc quitte à pipeauter, autant le faire bien. Je suis tombé sur cette démonstration du théorème de Pythagore :

Convaincu?

Bien sûr, ça ne démontre rien du tout, car le triangle est particulier et on ne peut pas vérifier si ces quantités sont à 100% les mêmes. Cependant, de nombreuses démonstrations trouvées sur le net sont aussi discutables. Par exemple, elles utilisent souvent l’argument hautement non trivial que la somme des angles d’un triangle est de 180°. Or cet énoncé est équivalent au théorème de Pythagore. Pour être vraiment rigoureux, il faudrait partir d’une bonne axiomatique (celle d’Hilbert par exemple). Mais comme on dit, cela dépasse le cadre de ce blog !

Étonnant, non ?

Soient et deux entiers naturels non nuls inférieurs à . En notant la probabilité que et soient premiers entre eux, on a

C’est-à-dire que la « probabilité » que deux entiers soient premiers entre eux est de . Mais il faut faire attention avec ce mot, comme nous le verrons plus bas !

On rappelle que

La fonction zêta de Riemann

Une fonction très connue en théorie des nombres est la fonction zêta de Riemann, notée . Sur les entiers supérieurs ou égaux à 2, elle est définie par :

Ce qui est remarquable, c’est qu’elle est fortement reliée aux nombres premiers à travers la formule suivante :

où l’on fait le produit sur tous les nombres premiers.

Un autre fait remarquable, c’est que la valeur de est connue :

Pour des démonstrations de ces résultats, on pourra se reporter aux articles produit eulérien et problème de Bâle sur Wikipédia.

Pourquoi ce « n! » ?

On peut se demander pourquoi on demande que les deux entiers et soient bornés par Tout simplement parce qu’il n’existe pas de mesure de probabilité uniforme sur l’ensemble des entiers naturels, ce qui empêche de parler de probabilité sur les entiers directement. Une loi uniforme est la seule qui modélise correctement le fait de prendre des objets au hasard, car elle associe la même probabilité à chaque élément.

Plus formellement, si on disposait d’une mesure de probabilités uniforme sur , alors on aurait d’une part , mais aussi pour tout . Or c’est impossible, car on a

Si , on aurait et si on aurait , absurde.

Il est donc incorrect de parler de probabilité que deux entiers soient premiers entre eux. Le résultat énoncé plus haut n’en reste pas moins intéressant.

Démonstration

Soit un nombre premier inférieur à . Notons l’évènement n’est pas un diviseur commun de et .

La probabilité pour que soit divisible par est de . En effet, le nombre de multiples de dans vérifie

c’est-à-dire

Or est divisible par , donc est un entier. Le nombre étant lui-même un entier, on a nécessairement .

La proportion (et donc la probabilité que soit divisible par ) d’entiers divisibles dans est donc de

On refait le même raisonnement pour . Par indépendance sur les choix de et , la probabilité que et soient tous les deux divisibles par est de . La probabilité de l’événement est donc de .

L’événement : «  et sont premiers entre eux » est se produit quand ils n’ont pas de facteurs commun, c’est-à-dire quand les événements sont tous réalisés en même temps. On a donc

et par indépendance

d’où en passant à la limite sur :

ce qui achève la démonstration.

Pour aller plus loin

On peut raffiner le théorème en travaillant avec plutôt qu’avec La démonstration est plus difficile, je vous invite à consulter ce document.