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Le troisième problème de Hilbert avec du produit tensoriel

26/02/2010 Tukikun un commentaire

En 1900, lors de l’Exposition Universelle, à Paris, a lieu le deuxième congrès de mathématiques. L’exposé de David Hilbert (1862-1943, mathématicien allemand, considéré comme un des plus grands mathématiciens du XXème siècle) est l’un des plus attendus. Le 8 août 1890, il présente donc sa liste de 23 problèmes qui tiennent les mathématiciens en échec et qui marqueront le cours des mathématiques du XXème siècle.

On s’intéresse dans cet article au troisième problème de Hilbert, qui est considéré comme le plus facile, et qui a eu une existence brève puisque la solution a été apportée par Dehn dès 1900. Il fallait spécifier deux tétraèdres de même base et de même hauteur, qui ne se subdivisent d’aucune manière en tétraèdres superposables, et qui ne se laissent pas compléter par des tétraèdres superposables en des polyèdres pour lesquels une telle subdivision en tétraèdres superposables soit possible (Ouf ! On peut respirer…). Autrement dit, si deux polyèdres ont même volume, peut-on produire un puzzle pour passer de l’un à l’autre ? Ou encore, si l’on a deux polyèdres de même volume, peut-on découper le premier en un nombre fini de morceaux (polyèdres) et obtenir le second en recollant les morceaux ?

La réponse à ce problème est négative. En particulier il est impossible de découper un cube en un nombre fini de polyèdres et de reconstituer un tétraèdre régulier (de même volume) à partir des morceaux. La démonstration de Dehn repose sur l’introduction d’un nouvel invariant appelé l’invariant de Dehn.

Découpages et recollements

Soient A et B deux parties de \mathbb R^d. On dit qu’elles sont équivalentes par découpage et recollement (ou équidécomposables) s’il existe une partition de A (resp. de B),

A=A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n (resp. B=B_1 \cup B_2 \cup \cdots \cup B_n)

et, pour chaque i=1, 2, \ldots, n, une isométrie g_i:A_i\to B_i qui applique A_i sur B_i. On note alors A\sim B.

Cette relation est clairement une relation d’équivalence.

Polygones, polyèdres, tétraèdres

Afin de se mettre d’accord, il est nécessaire de définir clairement les notions de polygones (ou devrait-on dire de domaines polygonaux) dans le plan, de polyèdre et de tétraèdre dans l’espace.

Un polygone est une figure géométrique plane, formée d’une suite de segments, chacun d’entre eux partageant une extrémité avec le précédent et le suivant, délimitant ainsi un contour fermé. Par exemple, les triangles, les rectangles, les hexagones sont des polygones…

Un polyèdre est traditionnellement une forme tridimensionnelle qui se compose d’un nombre fini de faces polygonales qui sont des parties de plans; les faces se rencontrent par paires le long des arêtes qui sont des segments de droite, et les arêtes se rencontrent aux points nommés sommets.

Icosadodécaèdre

Un tétraèdre est un polyèdre dont les 4 faces sont des triangles. Il est dit régulier si ses 4 faces sont des triangles équilatéraux.

Découpage des polyèdres : pourquoi cette question ?

Nous connaissons tous la formule élémentaire qui donne l’aire d’un triangle : la base fois la hauteur divisé par deux. La preuve de ce résultat consiste à découper le triangle en petits polygones et à les réarranger afin d’obtenir un rectangle qui a la même aire.

Peut-on utiliser un argument semblable (c’est-à-dire une preuve par découpage et recollement) afin d’obtenir le volume d’une pyramide ? En effet, on obtiendrait une preuve « élémentaire » du théorème XII.5 d’Euclide (qui dit que deux pyramides de même base et de même hauteur ont même volume). Et nous obtiendrions ainsi une définition élémentaire du volume d’un polyèdre. En effet, Euclide utilise un processus infini, l’exhaustion (un passage à la limite). Les démonstrations ultérieures de cette formule font toutes appel à des méthodes relevant de près ou de loin à un calcul intégral et aucune démonstration géométrique plus simple n’a pu être trouvée.

Le tétraèdre régulier n’est pas équidécomposable avec le cube de même volume.

Pour prouver ce théorème, Dehn a introduit un nouvel invariant qui porte son nom : l’invariant de Dehn.

Invariant de Dehn, version produit tensoriel

Les sous-groupes de \mathbb R étant soit dense, soit de la forme \alpha\mathbb Z, \alpha\in\mathbb R^*, on a \pi\mathbb Z qui est un sous-groupe distingué (car (\mathbb R, +) est abélien) de \mathbb R. On peut ainsi considérer le groupe quotient \mathbb R/\pi\mathbb Z, qui peut être vu comme le groupe des angles de droite (au moyen de la mesure des angles en radians).

On pourra alors définir l’invariant de Dehn dans le produit tensoriel \mathbb R \otimes_{\mathbb Z} (\mathbb R/\pi\mathbb Z).

Par définition du produit tensoriel, on a une application \mathbb Z-bilinéaire naturelle

i : \begin{array}[t]{rcl}\mathbb R\times(\mathbb R/\pi\mathbb Z) & \to & \mathbb R\otimes_{\mathbb Z}(\mathbb R/\pi\mathbb Z) \\ (a,\theta) & \mapsto & a\otimes\theta\end{array}

On a aussi une fonction \mathbb Z-bilinéaire

\overline f : \begin{array}[t]{rcl}\mathbb R\times(\mathbb R/\pi\mathbb Z) & \to & \mathbb R \\ (a,\theta) & \mapsto & af(\theta)\end{array}

Par la propriété universelle du produit tensoriel, il existe une unique application \mathbb Z-linéaire

F : \begin{array}[t]{rcl}\mathbb R\otimes_{\mathbb Z}(\mathbb R/\pi\mathbb Z) & \to & \mathbb R \\ a\otimes\theta & \mapsto & af(\theta)\end{array}

On peut ainsi définir l’invariant de Dehn indépendamment de la fonction f en l’exprimant dans le produit tensoriel.

Soit un polyèdre P dans l’espace. On définit l’invariant de Dehn de P comme le nombre réel :

\delta(P)=\sum_{e\in P}\ell(e) \otimes \alpha(e)

où l’on somme sur toutes les arêtes e du polyèdre, \ell(e) représentant la longueur de l’arête e et \alpha(e) l’angle entre deux faces dont l’intersection est e.

On a donc le théorème suivant :

Si deux polyèdres sont équidécomposables, ils ont le même invariant de Dehn.

qui repose sur le caractère additif de l’invariant de Dehn : si un polyèdre P est réunion disjointe de polyèdres P_1, \ldots, P_r, on a

\delta(P)=\delta(P_1)+\cdots+\delta(P_r)

On souhaite donc calculer l’invariant de Dehn du cube et celui du tétraèdre. Pour cela on a besoin d’un résultat préliminaire :

Un élément t=a\otimes\theta \in \mathbb R\otimes_{\mathbb Z}(\mathbb R/\pi\mathbb Z) , avec a\neq 0, est nul si et seulement si \frac\theta\pi est rationnel. En effet, si \frac\theta\pi = \frac pq, on a

t=(q\frac aq)\otimes\frac pq \pi = \frac aq \otimes (q\frac pq \pi) = \frac aq \otimes p\pi = \frac aq \otimes 0 = 0.

Supposons maintenant que \frac\theta\pi est irrationnel. Par la propriété universelle du produit tensoriel, étant donnés

\overline f : \begin{array}[t]{rcl}\mathbb R\times(\mathbb R/\pi\mathbb Z) & \to & \mathbb R \\ (a,\theta) & \mapsto & af(\theta)\end{array} et i : \begin{array}[t]{rcl}\mathbb R\times(\mathbb R/\pi\mathbb Z) & \to & \mathbb R\otimes_\mathbb Z(\mathbb R/\pi\mathbb Z) \\ (a,\theta) & \mapsto & a\otimes\theta\end{array}

deux applications bilinéaires, il existe une unique application \mathbb Z-linéaire

F : \begin{array}[t]{rcl}\mathbb R\otimes_\mathbb Z(\mathbb R/\pi\mathbb Z) & \to & \mathbb R \\ a\otimes\theta & \mapsto & af(\theta)\end{array}

On aura gagné si on trouve f telle que f(\theta)\neq0. Comme \mathbb R est un \mathbb Q-espace vectoriel et qu’il existe des bases de \mathbb R comme \mathbb Q-espace vectoriel, et comme \theta et \pi sont \mathbb Q-indépendants, on les complète en une base et on envoie \pi sur 0 et \theta sur 1. Cet homomorphisme se factorise par \pi\mathbb Z et c’est ce que l’on désirait.

Preuve du théorème

Considérons le cube C. On utilisant la bilinéarité du produit tensoriel sur \mathbb Z on a

\delta(C)=\sum_{e\in C} \ell(e)\otimes \frac\pi2 = \sum_{e\in C} 2\frac{\ell(e)}2\otimes \frac\pi2 = \sum_{e\in C} \frac{\ell(e)}2\otimes 2\frac\pi2 = \sum_{e\in C} \frac{\ell(e)}2\otimes \pi = 0

Considérons maintenant le tétraèdre régulier T de volume 1 avec des cotés de longueur \ell (=6\sqrt2). En utilisant le résultat préliminaire et la liberté de la famille \{\alpha,\pi\} où \alpha est tel que \cos \alpha = \frac 13, on a

\delta(T)=\sum_{e\in T} \ell(e)\otimes \alpha = \sum_{e\in T} \ell\otimes\alpha = 6 \underbrace{\ell\otimes \alpha}_{\neq0}\neq 0.

Jolie application du produit tensoriel non ?

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Maths et magie, racine septième d’un entier

11/01/2010 Tukikun Aucun commentaire

Si vous voulez impressionner des amis (ou des élèves) par vos performances en calcul mental, mais que malheureusement, vous n’êtes pas aussi doués que d’autres mathématiciens, vous pourriez être tenté d’utiliser quelques petites astuces…

Comment extraire une racine septième d’un entier ?

Demandez à la personne en face de vous d’élever un nombre (entier, cela va de soi, sinon votre tour tombe à l’eau) compris entre 1 et 100 à la puissance 7, avec une calculatrice scientifique (la petite calculatrice aura du mal à afficher 100^7=10^{14}, c’est-à-dire 100 000 milliards…, et qu’elle vous annonce le résultat.

Supposons par exemple qu’elle annonce 3 938 980 639 167. Écrivez le nombre sur votre feuille en séparant tous les 3 chiffres (comme on le fait naturellement en français).

Première étape : déterminons le chiffre des unités du nombre élevé à la puissance 7. On regarde alors le chiffre des unités du nombre qui nous a été donné :

3 938 980 639 167

Puis on regarde discrètement dans ce petit tableau qu’on a caché (ou mieux, qu’on a appris par coeur tellement il est simple) à quoi correspond ce chiffre 7 :

Chiffre des unités du nombre donné 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Chiffre des unités du nombre initial 0 1 8 7 4 5 6 3 2 9

Le nombre initial fini donc par un 3 ! Les plus savants peuvent retenir que ce tableau correspond exactement à la permutation (3,7)(2,8)…

Deuxième étape : Déterminons maintenant le nombre de dizaines. Pour cela on regarde le nombre de milliards qui figurent dans le nombre donné, c’est-à-dire qu’on oublie les 9 premiers chiffres. Dans notre exemple :

3 938 980 639 167

Puis on regarde discrètement dans ce petit tableau qu’on a caché (ou mieux, qu’on a appris par coeur… parce qu’il n’y a que 10 valeurs à retenir) où se situe ce nombre 3938 :

Nombre de milliards du nombre donné 0 0,01 1 21 163 780 2700 8000 20000 47000 100000
Nombre de dizaines du nombre initial 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

On voit bien que 3938 se situe entre 2700 et 8000. On prend donc le nombre de dizaines du nombre le plus petit entre 6 et 7, c’est-à-dire 6.

Finalement, vous pouvez annoncer fièrement votre résultat : le nombre de départ était 63 !

Comment ça fonctionne ?

Il est remarquable qu’à la puissance 7, les chiffres des unités des puissances septième soient tous différents selon le chiffre des unités de départ, et on retrouve exactement les mêmes résultats aux puissances 3 et 5. Même mieux, à la puissance 9, le chiffre des unités de la racine neuvième est exactement le chiffre des unité du nombre final !

D’autre part, les encadrements données dans le second tableau sont simplement ceux que l’on obtient en calculant les puissances septièmes des différentes dizaines, entre 10 et 100, puis en les divisant pas 1 000 000 000, et en arrondissant.

Il convient juste de faire attention lorsque l’on arrondit de ne pas les rendre inférieurs à la puissance septième située immédiatement en dessous. Par exemple, 60^7 = 2 779,36 milliards et 59^7 = 2 488,… milliards, donc on peut arrondir à 2700, 2600 ou 2500 mais pas moins, et du ce fait les puissances septièmes des nombres ayant 5 pour dizaine seront situés sous la barre des 2 700 (ou 2 600, ou 2 500) milliards.

On pourra s’amuser si on le souhaite trouver des moyens équivalents pour calculer des racines cubiques, cinquième ou neuvième des entiers inférieurs à 100.

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Efficacité vaccin du sida

04/11/2009 Tukikun Aucun commentaire

Jeudi 24 septembre 2009, des chercheurs américains et thaïlandais ont annoncé avoir mis au point un vaccin permettant de réduire de 31,2 % les infections au virus du sida. Cette information a circulé tout autour de la terre comme un formidable message d’espoir… Dans l’article que j’ai lu, ils parlaient d’une expérience effectuée sur 16000 individus… qui ont été divisés en deux groupes, l’un ayant le vaccin et le second un placebo. Cependant, aucune autre information n’était disponible : combien de cas de sida dans chaque groupe, comment ont été constitués les groupes, quels étaient les risques de contamination des individus, et un certain nombre d’informations importantes… Et surtout : comment ce nombre de 31,2% a-t-il été calculé ?

Ne disposant pas de ces résultats et voulant mettre en garde les étudiants de médecine auxquels je donnais des cours cette année, je leur ai fait tester l’hypothèse : « le vaccin n’a aucun effet » sur un échantillon de 16000 personnes, 6000 ayant reçu le vaccin et 10000 un placebo; avec une prévalence (très élevée) de 1% dans la population. Ainsi, sur le groupe de 10 000 individus, 100 présentaient le virus, et 42 parmi le groupe ayant été vacciné, ce qui – ramené à effectif comparable – est une baisse de 30% du virus du sida. Après de petits calculs, on ne peut pas rejeter l’hypothèse faite au risque 5%… c’est-à-dire qu’il est possible que les différences d’effectifs soient le seul fait du hasard (mais pas forcément que le vaccin n’a eu aucun effet) à 95% ! Conclusion : impossible d’en dire plus…

Aujourd’hui, je suis tombé sur une brève de l’AFP, expliquant un peu mieux comment ont été formés les groupes, etc. En refaisant une comparaison de pourcentage à l’aide du test du \chi^2, on obtient au risque 5% le rejet de l’hypothèse, c’est-à-dire qu’avec un risque de 5% de se tromper, on peut dire que le vaccin a eu un effet ! Bon, après, il faut relativiser : le chiffre avancé de 31,2% est assez… arbitraire ! Rien ne dit que le vaccin provoque une immunité dans 30% des cas : ce chiffre est fortement contesté par la communauté scientifique. De plus, ce sont deux groupes de volontaires, donc ce n’est pas un essai thérapeutique randomisé, on ne sait pas s’il s’agit d’un test en double aveugle (c’est-à-dire médecins et patients ignorent s’ils ont le vaccin ou un placebo) ou si seul le patient ignore le produit qui lui a été injecté. On ne sait rien des effets à long terme, et on ne sait pas si ce vaccin serait utilisable en Afrique (population à haut risque, avec un type différent de virus) !

Bref, une modeste avancée, mais qui s’avère statistiquement significative au risque 5%… Mais on est loin des 31,2% de protection annoncés !

Le matraquage médiatique et les pourcentages lancés sans aucune explication permettent une manipulation importante d’une population non prévenue… Il existe de nombreux exemples de cette manipulation :

- Suite au premier tour de l’élection présidentielle française en 2002 (et la surprise pour une grande partie des français des résultats du front national), le canard enchaîné (hebdomadaire satirique) avait publié une image mettant en avant la corrélation entre les retombées radioactives de Tchernobyl et les résultats du Front National dans les départements

Corrélation entre retombées radioactives de Tchernobyl et vote en faveur du Front National

Corrélation entre les retombées radioactives de Tchernobyl et le vote en faveur du Front National

Mais ce qu’il faut savoir, c’est qu’une corrélation entre deux phénomènes de ce genre, en mathématiques, indique une relation du genre :

si on est dans une région ayant eu de fortes retombées suite à la catastrophe de Tchernobyl, alors le vote Front National est élevé dans notre région, et inversement

En effet, si notre département a beaucoup voté FN, on doit être dans l’est et du coup, il y a de grandes chances que les retombées du nuage radioactif aient été importantes. Mais il n’y a pas forcément dépendance entre les événements, c’est-à-dire que ça ne signifie pas qu’un des éléments a causé le second !

- Quand la sécurité routière annonce des pourcentages, elle dit qu’il y a par exemple 97% des accidents sur des lignes droites le jour et 3% la nuit, et donc qu’il faut être prudent le jour aussi, etc. Ce qu’elle ne mentionne pas, c’est qu’il y a beaucoup plus de circulation le jour que la nuit, et que proportionnellement, la probabilité d’avoir un accident sur une ligne droite le jour est très faible, alors que cette probabilité est beaucoup plus importante de nuit !

Les nombres permettent de manipuler les individus, il convient de rester vigilant et critique envers tous ces pourcentages qui jonchent l’actualité !

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Calculs « à la main » nécessaires après le bac

03/10/2009 Tukikun 5 commentaires

C’est sans doute un thème récurrent dans les blogs, la baisse de niveau des étudiants, la génération dyslexique en maths : que de formules peu flatteuses pour l’enseignement des mathématiques actuel… Bien que j’aie connue la baisse drastique de niveau des mathématiques (jeunesse oblige), j’ai eu envie de venir apporter ma pierre à cette polémique maintes fois exposée, n’ayant pas la prétention d’innover, mais juste celle de redire encore et encore les surprises que l’on peut rencontrer lorsque l’on enseigne…

Je donne actuellement des « cours » — disons plutôt que j’entraîne sauvagement les étudiants au concours — dans une prépa privée pour les étudiants de PCEM 1 / PCEP 1  (i.e. étudiants de médecine et de pharmacie de première année). La formation étant exclusivement basée sur la rapidité, la connaissance du cours et l’application des méthodes (et non pas de la compréhension), je peux difficilement juger de leur capacité à comprendre les mathématiques. Par contre, je peux — et je ne m’en prive pas — tester leur capacité à calculer.

En effet, la calculatrice est interdite le jour du concours, sans doute pour éviter les fraudes (qui consisterait à la remplir de formules à appliquer à tous les exercices). En conséquence de quoi le concours déjà fort long se complique un peu d’avantage : non seulement il faut aller vite, mais il faut en plus faire un nombre non négligeable de calculs de tête.

En analyse, outre les dérivées de fonctions parfois assez corsées (du genre de l’évolution de la population bactérienne par le modèle de Verhulst : N(t) = \frac{N_C}{1+\left(\frac{N_C}{N_0}-1\right)e^{-\tau t}}, à dériver deux fois pour rechercher les points d’inflexion), il faut aussi calculer des incertitudes (comme l’incertitude sur la pression connaissant l’incertitude sur la température et le volume d’un gaz parfait), et tout cela… de tête. Et là, c’est terrible… les élèves se braquent pour diviser 2802 par 41, s’effraient devant les dérivées de la forme \frac uv où u et v ne sont pas des simples fonctions polynomiales qui rendent les calculs faciles…

En biostatistique, il faut donner des intervalles de confiance de moyenne, il faut calculer des covariances de variables aléatoire, les VPP et VPN (valeurs prédictives positives et négatives d’un test diagnostic, i.e. respectivement la probabilité d’être malade sachant que le test est positif et la probabilité de ne pas être malade sachant que le test est négatif), et parfois même des formules compliquées, avec des \sqrt{n}, \sqrt{n-1} ou \sqrt{n-2} où n est la taille de l’échantillon…

Je reconnais que ça fait beaucoup de calculs, et parfois vraiment pas évidents… Mais le recours à la calculatrice étant si immédiat, on en oublie la manière de calculer, on en oublie de regarder les ordres de grandeur (pour évincer une solution parfaitement fausse du premier coup d’oeil)… Je passais dans les rangs et je voyais des multiplications farfelues orner les brouillons… des multiplications pour 900\times 0,4 ou pour 250\times 0,5 ! Alors évidemment, après on me dit que mon sujet était trop long… c’est évident. Si même les petits calculs prennent du temps, que doivent donner les divisions de milliers par des dizaines…

Le non recours à la calculatrice est assez injustifié pour les calculs que les cours nécessitent de faire… il faut constamment redonner avant quelques valeurs arrondies pour qu’ils puissent traiter la question… mais pour les élèves que le calcul mental n’effraie pas, c’est excellent ! C’est excellent donc, pour une pincée d’étudiants… Eux qui pensaient se débarrasser des mathématiques, les voilà obligés de faire plein de petits calculs, et c’est ça plus que tout le reste, qui leur prend du temps et qui les handicape sérieusement…

Je dois avouer qu’ayant toujours aimé les maths (je me souviens de la découverte des équations du premier degré à résoudre de tête avec mon père en voiture alors que j’étais vraiment jeune), les calculs ne m’effraient pas. Je ne suis pas excellent, loin de là, mais j’aime assez ne pas recourir à la calculatrice lorsque je peux l’éviter… Mais je suis bien conscient que c’est loin d’être le cas pour la majorité des étudiants, même ceux en université de mathématiques…

Dans un tout autre registre, et peut-être plus grave encore (quoique l’âge plus jeune contrebalance…) : j’avais demandé à une élève de troisième qui venait de voir les identités remarquables de calculer (3+4)^2. Après avoir fait de longs calculs (en temps !), elle finit péniblement par trouver 49… Je lui explique alors que 3+4=7 et donc que (3+4)^2=7^2=49. Tu as compris ? Oui oui… Ok, calcule moi alors (1-1)^2. Réapparition immédiate de l’identité remarquable… J’attends deux, trois minutes. Finalement, elle reste bloqué avant de marquer la solution, et trace un zéro lent et hésitant… C’est faux hein ? Hé non… c’était bon… :-)

Jeunesse décadente va ! Enfin, j’vous aime bien quand même :-D Les étudiants que j’ai cette année sont très sympa ! Puis globalement, je ne suis pas à plaindre, je suis avec des étudiants quand même doués, et motivés…

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Un aveugle dans un bar

11/08/2009 Tukikun 3 commentaires

2eurosVoici une petite énigme proposée par un ami

Aujourd’hui, je rentre dans un café de quartier. Au bar, un aveugle est attablé et bois son café. Le patron, d’humeur joueuse par cette après-midi avec peu de monde, propose à l’aveugle un jeu : il dispose devant lui une assiette avec 4 pièces de 2 euro et le but est qu’il mette les 4 pièces dans le même sens.
assiette_euros
L’aveugle retourne autant de pièces qu’il veut, on lui dit si il a gagné et sinon, le patron tourne l’assiette du nombre de quarts de tour qu’il veut et l’aveugle peut recommencer à retourner, et ainsi de suite. Le patron dit qu’à chaque fois qu’il tourne l’assiette, il donnera un euro de moins à l’aveugle.
L’aveugle souris, et rétorque qu’en moins de 7 tours, il est sûr de gagner, et remercie le patron de lui offrir son café (à 1 euro depuis la baisse de la TVA). Ils jouent, et effectivement, l’aveugle gagne au moins 1 euro à chaque fois…
Quelle méthode a-t-il donc adoptée ?

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