Author Archives: Tukikun

Nature et Fibonacci

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Pour commencer, je vous souhaite une très bonne année 2012, qui j’espère sera emplie de bonheur, de joies, de plaisir, rimera avec bonne santé et contiendra de belles découvertes mathématiques.

Je ne voulais pas m’étendre ici sur la découverte de la suite de Fibonacci dans la nature, vous trouverez une jolie réponse partielle à la question « Pourquoi voit-on la suite de Fibonacci dans les pâquerettes ? » dans ce document, ou quelques images sur le blog Choux romanesco, vache qui rit et intégrale curviligne.

Je souhaitais juste rajouter une jolie image du fruit d’un Cycas (pseudo palmier), posé sur un genévrier rampant, prise en Corse en juillet dernier, pour illustrer la beauté et la géométrie dans la nature (ainsi que donner une illustration supplémentaire pour vérifier la présence de la suite de Fibonacci).

Merci J.

Open data (gouvernement, google, …)

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Lorsqu’on enseigne les probabilités et les statistiques, on recherche parfois des séries de données à exploiter qui serait réelles plutôt que d’inventer des données dont on ne connaît pas la pertinence. Par exemple, lorsque j’enseignais les biostatistiques en classe préparatoire pour les étudiants en santé, j’étais à la recherche de données comme la situation périnatale en France en 2010, ou tout autre type de données de ce genre. Jusqu’à présent, on pouvait trouver ce genre données sur des sites comme l’insee par exemple, ou dans des livres comme l’enquête sur la sexualité en France qui présente et commente l’enquête « Contexte de la sexualité en France » réalisée en 2006, qui procure alors de nombreux nombres très pertinents (et intéressants) !

Hier, lundi 5 décembre 2011, le gouvernement a dévoilé le site data.gouv.fr

qui rassemble plus de 350 000 jeux de données publiques, plus ou moins facilement utilisables et réexploitables (en fonction du format), selon les critères de l’open data. Outre l’utilisation que je mentionnais ci-dessus comme ensemble de valeurs intéressantes à utiliser dans un cadre scolaire, chacun pourra juger de la pertinence des données publiées, ou s’intéresser aux applications utiles qui pourront découler de la diffusion de ces données, comme celles présentées dans cet article du journal « Le Post ».

Un lien à garder sous la main et à surveiller du coin de l’œil !

Ajout (7/12/2011) : On pourra aussi noter le Google Public Data Explorer, qui rend accessible de larges séries de données. Les graphiques et carter évoluent constamment, et permettent ainsi de mieux appréhender les changements qui not lieu dans le monde. On pourra apprécier grandement le choix des pays que l’on souhaite comparer, par exemple sur le taux de chômage en Europe ou la dette publique (e.g. en fonction du PIB). Différentes représentations des données sont proposées (courbes, diagrammes en bâtons), dont une représentation sur carte quand le sujet s’y apprête, avec une animation permettant d’observer l’évolution dans le temps. Très visuel et appréciable !

Google et les graphes de fonctions

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Pour ceux qui auraient besoin de tracer rapidement l’allure d’une fonction, de comparer des fonctions sans lancer de lourds logiciels graphiques, Google permet maintenant de tracer des graphes de fonctions facilement, en indiquant l’expression de la fonction dans la barre de recherche :

On pourra par exemple représenter des fonctions plus ou moins simples en les séparant par les virgules

En rajoutant from -4.5 to 4.5, on peut spécifier le domaine de la fonction, par exemple

On peut alors zoomer, obtenir les valeurs approchées en certains points (ce qui peut être efficace pour vérifier empiriquement un point d’intersection). On regrettera que pour le moment, seules les fonctions monovariées sont disponibles, mais nul doute que les cardioïdes deviendront accessibles dans le futur. En attendant, on peut toujours déclarer son amour avec la fonction suivante :

Source

Exposition : Mathématiques – un dépaysement soudain… ou pas

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Du 21 octobre 2011 au 18 mars 2012, la fondation Cartier propose une exposition appelée Mathématiques, un dépaysement soudain, et révèle un univers dans lequel les artistes ont accompagné les mathématiciens à travers 6 salles consacrées aux mathématiques. On trouvera sur le site officiel d’avantage de détails et un remerciement à toutes les personnes ayant créé cette exposition.

Comme le nom le suggère, il s’agit à travers cette exposition de faire partager la fascination et l’accomplissement devant les mathématiques. Lorsque je me suis rendu à cette exposition vers midi, il n’y avait pas grand monde. J’ai pu rentrer immédiatement (en tarif -26 ans, le pass éducation n’ouvrant pas de réduction particulière — ce qui, entre parenthèses, me semble assez étonnant) et recevoir la feuille A2 recto-verso qui détaillait l’exposition, format qui me semblait peu adapté. En fait, ce format s’explique par le fait qu’il n’y a aucune explication ailleurs que sur cette feuille…

J’ai commencé par les pièces de droite, où selon la feuille se trouvent la plupart des œuvres. On trouve un pavage de Penrose (sans explication, sauf si on essaye de lire la feuille dans l’atmosphère feutrée), une demi sphère dans laquelle sont projetées des démonstrations géométriques, ou la répartition des nombres premiers… malheureusement on ne peut regarder les deux ou trois films muets qui défilent au risque de boucher la pièce en restant au milieu. Sur la droite, est projeté sur un écran un film sur le Grand collisionneur de hadrons (LHC), où l’on parle du boson de Higgs. Nous avons un peu quitté le domaine des mathématiques, même si le sujet est intéressant, et encore une fois, on ne peut visionner tout le film en toute tranquillité. Sur la droite, des gens attendent pour voir les ergo-robots (aux têtes bizarres de David Lynch) qui explorent leur environnement, et en même temps inventent leur propre langage pour parler de ce qui les entoure. Malheureusement, il est difficile d’obtenir une information un peu moins vulgarisée de ce qui a été fait ici, de ce que signifie ce qui est projeté sur les parois au fond. De retour dans la pièces aux multiples exposés, on peut apercevoir sur un écran tactile, à coté d’un tableau noir, une application imaginée par Takeshi Kitano où l’on doit produire le nombre 2011 à l’aide des opérations élémentaires et des nombres entiers successifs et uniquement dans l’ordre croissant. On y trouve en mémoire les plus belles expressions (en six chiffres !).

De l’autre coté, une « bibliothèque des mystères » un peu cachée où sont projetées des citations de livre et où l’on trouve au plafond une fresque de dessins de l’infiniment petit à l’infiniment grand. Au sous sol, on tombe d’abord sur une fresque mentionant tous les travaux de Poincaré (et qui illustre donc la multitudes des sujets qu’il a abordé tout au long de sa vie), fresque qui ne raconte pas grand chose… En face, la main de Cedric Villani est filmée en train d’écrire une démonstration de la conjecture de Cercignani ; on a envie que la caméra recule, on ne peut pas suivre, puis on finit comme tout un chacun à regarder les traits sur le tableau noir. Dans la salle adjacente, un espace vide à l’exception au centre d’une surface de révolution à courbure négative constante, certes jolie (la pointe fait 2mm de diamètre) mais un peu perdue au milieu de cette grande pièce vide.
Au sous-sol encore, une salle de « cinéma » où des mathématiciens de toute nationalité expliquent quelque chose sur les mathématiques. Cette succession de morceaux de vies filmée par Raymond Depardon est très intéressante et bien réussie.

Et puis c’est tout.

J’ai retourné plusieurs fois la feuille pour essayer de voir si j’avais manqué la moitié de l’exposition mais non…

Je suis ressorti de l’exposition assez déçu. En 40 minutes, on a complètement fait le tour de l’exposition, on ressent un sentiment de vide et de place gâchée pour cette grande pièce ne contenant qu’une surface, alors qu’une dizaine d’autres (différentes) auraient largement eu la place de s’étendre et d’émerveiller les spectateurs. L’exposition est assez creuse, manque cruellement de petits panneaux explicatifs (le format A2 pour le dépliant explicatif étant peu adapté), plusieurs morceaux de l’exposition sont sans intérêt. Alors certes, on évite les habituels exposés que l’on peut voir ailleurs (nombre d’or, etc.), mais il n’y a pas grand chose qui parle au public (qu’il soit mathématicien ou non). À la sortie, à 13h, beaucoup de gens faisaient la queue…

Sujets liés :
- un commentaire positif sur Image des Mathématiques
- un commentaire peu enthousiaste

Formule d’inversion d’Arazi

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Alors que je travaille sur un sujet assez différent, je suis tombé sur une petite formule très amusante que je ne connaissais pas.

Quand n est un nombre premier, l’inverse de e modulo n est donné par le petit théorème de Fermat :

d=e^{-1}\pmod n = e^{n-2}\pmod n

Mais quand n n’est pas premier, le « truc » courant est d’appliquer la formule d’Azari qui relie e^{-1}\pmod n et n^{-1}\pmod e.

Soient e et n deux nombres positifs premiers entre eux. Si e\wedge n=1, alors

d=e^{-1}\pmod n = \dfrac{1+n(-n^{-1}\bmod e)}e

On démontre cela très simplement en considérant U=e(e^{-1}\bmod n)+n(n^{-1}\bmod e), congru à 1 modulo e et modulo n. Le théorème des restes chinois et un encadrement facile donnent alors U=1+en ce qui permet de conclure.

Cette formule est attribuée à Arazi qui était le premier à tirer profit de ce théorème folklorique pour implémenter des inversions modulaires d’exposents RSA rapides sur un processeur cryptographique.