Le programme des classes scientifiques au lycée — en tout cas ce qu’il en reste — étudie la notion de dérivation d’une fonction 
définie sur un intervalle ouvert 
. Le nombre dérivé 
de au point 
— s’il existe — est défini par
Par exemple, si 
pour 
, on a d’après une identité remarquable bien connue
d’où
.
On admet au lycée que la fonction sinus est dérivable sur 
tout entier et que 
pour tout 
. On le démontre ensuite dans les classes supérieures, bien souvent à l’aide des séries entières. Je propose ici de le montrer par des moyens géométriques. Certes le raisonnement suivant est loin d’être inattaquable sur le plan de la rigueur pure, mais je le trouve tout de même intéressant.
Tout d’abord en utilisant une formule trigonométrique, on a
d’où
.
On trouvera une preuve géométrique de cette formule trigonométrique dans ce lien. Il nous reste donc montrer que
.
Considérons la figure ci-dessous, où le cercle est de centre 
et de rayon égal à 1 :
On a 
, 
et 
. On observe alors que le triangle 
d’aire 
est strictement inclus dans le secteur angulaire délimité par , 
et 
d’aire 
, qui est lui-même strictement inclus dans le triangle 
d’aire 
. On en déduit donc que pour tout ![h\in]0,\pi/2[](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=h%5Cin%5D0%2C%5Cpi%2F2%5B&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "h\in]0,\pi/2[")
.
En passant à l’inverse et en divisant par 
, on obtient
d’où par le théorème des gendarmes
.
Comme la fonction 
est paire, on a bien
.
On essaye pour la deuxième limite de se ramener à la première. Le théorème de Pythagore nous donne un lien entre le sinus et le cosinus : 
. On a alors
d’où
.
On fait alors tendre 
vers 
et on obtient bien
.
Démonstration intéressante, merci!
Cependant j’ai un peu de mal avec sa » On observe alors que le triangle « ==> Un schéma ne constitue en rien une démonstration ^^
Bonjour
Oui je suis d’accord avec toi. Je l’ai d’ailleurs précisé dans l’intro : « le raisonnement suivant est loin d’être inattaquable sur le plan de la rigueur pure ». Il y a aussi un flou sur la notion d’aire et sur le fait que c’est une fonction croissante, dans le sens où si
et 
sont des figures qui serait « mesurables » — dans un sens à définir! — telles que 
, alors 
où 
désigne l’aire.
On peut trouver mille autres choses à redire sur cette démo. Mais elle est quand même intéressante et relativement convaincante. Je ne pense pas que des mathématiciens comme Euler ou Gauss auraient craché dessus
Bref
Très jolie idée! Attention à la démo où tu parles de « diviser par sin h » au lieu de multiplier!! Pour ce qui est de la notion d’aire, elle n’est absolument pas floue dans la mesure où l’on travaille dans un repère orthonormé et dans la partie « supérieure » du plan ainsi repéré. Il n’y a rien à y redire!
Je ne suis pas d’accord avec Ryuzaki : dire qu’un « schéma ne constitue en rien une démonstration » ne marche pas ici car tout dépend comment on a défini sinus et cosinus au départ. Et comme au lycée on fait cette définition par les coordonnées d’un point sur le cercle trigonométrique la démonstration proposée par Valvino est suffisamment rigoureuse dans ce cadre là. Une chaîne est toujours aussi faible que son maillon le plus faible…
En revanche, je ne vois pas pourquoi on passe par des aires pour minorer h par sin(h). Cette minoration est une évidence car, encore par définition, le réel h est la longueur de l’arc sur le cercle de rayon 1.
D’ailleurs dans le dessin je mettrais la lettre h plutôt à côté de l’arc de rayon 1 et non sur l’arc trop petit. Enfin une petite erreur de frappe : Le T de la preuve correspond au point nommé C dans le dessin.