Sujets polémiques en mathématiques

Posted on 26 mars 2010 by Valvino

Même si les mathématiques ont l’air d’une science exacte, où la Vérité est figée à tout jamais, il existe quelques sujets qui poussent aux débats sans fin. J’en connais quelques uns :

l’entier 1 est-il premier ?
doit-on considérer les ensembles finis comme dénombrables ?
pour ou contre l’axiome du choix ?
qui a inventé le calcul différentiel? Newton ou Leibniz ?
les statistiques font-elles parties des mathématiques ?
est-ce que la façon d’aborder les mathématiques de Bourbaki est LA bonne façon de procéder ?

En connaissez-vous d’autres ?

Voici quelques propositions des commentaires :

Dans Bourbaki, un espace quasi-compact est un espace topologique vérifiant la propriété de Borel-Lebesgue. Un espace compact est un espace quasi-compact séparé. Par contre, dans les textes mathématiques écrits en anglais, un espace est compact n’est pas nécessairement séparé. Quid ?
La définition de $\pi$ est erronée, et l’erreur s’est perpétuée depuis l’antiquité.
Une forme sesquilinéaire est-elle linéaire à gauche ou à droite?
Dans les coordonnées sphériques, que désignent $\theta, \varphi, r$ et $\rho$ ?
Combien vaut $0^0$ ?
Est-ce que les notions d’ « application » et de « fonction » sont identiques ?
L’espace topologique vide est-il connexe ?
Quelle est la dimension de Krull de l’anneau nul ?
La suite $(n)_{n\in\mathbb N}$ « converge-t-elle » ou « diverge-t-elle » vers l’infini ?
…

22 thoughts on “Sujets polémiques en mathématiques”

temps on 26 mars 2010 at 22 h 17 min said:

J’ai lu :
« Même si les mathématiques ont l’air d’une science exacte, où la Vérité est figée à tout jamais », merci d’avoir préciser « ont l’air » car par définition les sciences mathématiques sont une science appliquée et donc ne peuvent être exact. Il n’y a qu’à regarder les notions de base en informatique qui nous apprend à associer des nombres avec des bits de parité ou des valeurs flottantes (9 techniques) pour retrouver les conventions que nous donnent l’addition.
Cordialement
Tukikun on 27 mars 2010 at 10 h 44 min said:

Ou quelle est la formule de la transformée de Fourier (en 1D) de $f$ ?

$hat f(xi) = displaystyleint_{mathbb R} f(x)e^{-ixi x}textrm{d}x$

$hat f(nu) = displaystyleint_{mathbb R} f(x)e^{-2ipi nu x}textrm{d}x$

ou

$hat f(k) = frac{1}{sqrt{2pi}}displaystyleint_{mathbb R} f(x)e^{-ikx}textrm{d}x$

Bon, ça dépend des cas… si on fait des EDPs, la première est préférable ; du traitement du signal ou de l’image, c’est la seconde ; de la physique ou de l’électronique, la troisième…
JLT on 28 mars 2010 at 10 h 08 min said:

Pour la question 1, la réponse me semble clairement « non », car si c’était « oui », il faudrait dire que tout nombre entier >0 s’écrit uniquement (à l’ordre près) comme produit de nombres premiers différents de 1. Il faudrait dire que tout nombre premier différent de 1 engendre un idéal premier (en effet, on ne veut pas dire que Z est un idéal premier, sinon {0} devrait être intègre, donc un corps car il devrait être égal à son corps des fractions, et on n’aurait plus la correspondance entre idéaux maximaux et corps)… Bref, si 1 était premier, beaucoup d’énoncés mathématiques fondamentaux s’en trouveraient alourdis.

Un sujet polémique plus sérieux est le suivant : dans Bourbaki, un espace quasi-compact est un espace topologique vérifiant la propriété de Borel-Lebesgue. Un espace compact est un espace quasi-compact séparé.

Par contre, dans les textes mathématiques écrits en anglais, un espace est compact n’est pas nécessairement séparé.
JLT on 28 mars 2010 at 10 h 37 min said:

@Tukikun
Bien sûr, les trois formules ont toutes leur avantages et leurs inconvénients. La troisième est plus symétrique mais revient à intégrer par rapport à la mesure de Lebesgue divisée par $\sqrt{2\pi}$ , ce qui peut sembler bizarre. La première consiste à identifier $\mathbb{R}$ à son dual au moyen de $\xi \mapsto (x\mapsto e^{i\xi x})$ , et à prendre $d\xi /(2\pi)$ comme mesure sur le dual de $\mathbb{R}$ . En ce qui me concerne, je préfère la deuxième formule car, une fois que l’on a choisi l’identification de $\mathbb{R}$ à son dual au moyen de $\xi \mapsto (x\mapsto e^{2\pi i\xi x})$ , les mesures sur $\mathbb{R}$ comme sur son dual sont les mesures de Lebesgue.

De plus, j’ai entendu une fois Alain Connes dire une phrase qui m’a frappé : en mathématiques, il est très rare de trouver le nombre complexe $i$ « tout nu », en général il est toujours dans un bloc $2\pi i$ .

Dernière remarque : voici une question polémique. Je pense que la définition de $\pi$ est erronée, mais que l’erreur s’est perpétuée depuis l’antiquité. En effet, au lieu de définir $\pi$ comme la circonférence d’un cercle de diamètre 1, il aurait fallu le définir comme la circonférence d’un cercle de rayon 1. Ainsi, on éviterait d’avoir tout le temps $2\pi i$ dans les formules, et on aurait $\pi i$ à la place. De plus, $\pi$ serait égal à la période du cosinus et du sinus. Après, il faudrait casser les habitudes et dire que $\pi$ vaut 6,283185307179587…

Pour en revenir au $\pi\simeq 3,14$ habituel, il me semble donc préférable d’écrire $2\pi i$ dans les formules plutôt que $2i \pi$
JLT on 28 mars 2010 at 11 h 29 min said:

Encore des questions :
– une forme sesquilinéaire est-elle linéaire à gauche ou à droite? La convention en mathématiques est généralement « linéaire à gauche », mais en physique on préfère la convention opposée, qui est plus naturelle avec les notations « bra » et « ket ».

– Dans les coordonnées sphériques, que désignent $\theta$ , $\varphi$ , $r$ et $\rho$ ?
Tukikun on 28 mars 2010 at 14 h 01 min said:

@JLT
Ah, je n’avais jamais pensé à cette vision des choses concernant $\pi$ … c’est très intéressant ! Je tenterai de faire attention à noter $2\pi i$ plutôt… je crois que l’autre notation provient de l’oral, où dire $2$ - $\pi$ - $i$ est légèrement sujet à confusion par la répétition du « i »… certains pourraient être tentés de l’oublier.

Je suis d’accord sinon pour dire que 1 n’est pas premier ; j’ignorais même que l’on puisse encore discuter cela.

Pour la transformée de Fourier, le fait que l’identification (2) permette deux fois l’utilisation de la mesure de Lebesgue me semble effectivement un point non négligeable. La convolution fonctionne sans facteur $1/\sqrt{2\pi}$ à rajouter, et on obtient quand même une isométrie dans $L^2$ . Bon, il y a un $2\pi i$ dans la dérivée… mais comme on est obligé de rajouter $i$ , ce n’est peut-être pas le plus ennuyeux…
Grasyop on 28 mars 2010 at 22 h 11 min said:

À JLT,

Il y a tout de même l’identité d’Euler, où $i$ n’est pas dans un bloc $2\pi i$ , et qui deviendrait donc $e^{i \frac{\pi}2} + 1 = 0$ , ce qui alourdirait notablement la tâche des tatoueurs.
Kittie on 28 mars 2010 at 23 h 52 min said:

une seule certitude : les statistiques NE font PAS partie des mathématiques!!! c’est trop moche pour être des maths. cqfd. ;o)
JLT on 29 mars 2010 at 10 h 51 min said:

@Grasyop

Justement, j’ai toujours trouvé l’identité d’Euler un peu tirée par les cheveux. En effet, pour moi, il serait plus naturel d’écrire $e^{2\pi i}=1$ ou bien $e^{i\pi }=-1$ , mais je pense que Euler a passé le 1 de l’autre côté dans la deuxième relation pour éviter le signe moins qui est « moche ».

Par contre, s’il avait connu la définition $\pi = 6,2831853\ldots$ , il aurait écrit la relation $e^{i\pi}=1$ et n’en aurait pas été moins émerveillé. De plus, cette dernière relation serait encore plus facile à tatouer.
Tukikun on 29 mars 2010 at 12 h 17 min said:

@Kittie
Ah non, je ne suis pas d’accord ! En ce qui concerne les statistiques descriptives, on manie de nombreux calculs, on représente de nombreuses données à l’aide de fonctions etc. C’est une application des mathématiques à un domaine plus social (on ne traite pas forcément les explications sociales derrières les statistiques, mais on peut commencer à y goûter en faisant de simples statistiques).
Les statistiques inductives elles utilisent pas mal de mathématiques (des probabilités classiques, conditionnelles, des projections sur des espaces convexes, les espaces Lp) dans les nombreux tests.
C’est une partie des mathématiques rigolote en ce qu’elle quantifie la notion d’erreur de la vie.
vicnent on 30 mars 2010 at 16 h 27 min said:

moi j’aime bien le tattoo du gars

sinon, dans les sujets polémiques tout simple : $0.\bar{9} = 1$ ?
El Jj on 30 mars 2010 at 21 h 03 min said:

Et combien vaut vraiment $0^0$ ?
MathOMan on 1 avril 2010 at 17 h 26 min said:

Autres sujets :

Est-ce que les notions « application » et « fonction » sont identiques ?

Le logarithme de base e se note-t-il ln ou log ?
(Ca dépend de l’ouvrage.)

La suite $(n)_{n\in\mathbb N}$ « converge-t-elle » ou « diverge-t-elle » vers l’infini ?
(Ca dépend de l’auteur.)
MathOMan on 1 avril 2010 at 17 h 30 min said:

vicnent :
$0.\overline9=1$ ?

@vicnent
Evidemment oui, cette égalité est vraie. Entre mathématiciens il n’y a pas de doute, voir
http://www.mathoman.com/index.php/1556-une-preuve-a-prendre-avec-precaution
MathOMan on 1 avril 2010 at 17 h 34 min said:

doit-on considérer les ensembles finis comme dénombrables?

J’espère que la plupart des auteurs définit la dénombrabilité par l’existence d’une surjection (et pas d’une bijection) partant des nombres naturels.
MathOMan on 1 avril 2010 at 17 h 42 min said:

Je suis totalement d’accord avec JLT sur le mauvais choix de $\pi$ .

Un autre mauvais choix est celui de $f(x)$ car $(x)f$ ou $x(f)$ serait plus logique (on part de x, puis on applique f) et pratique dans de nombreux écritures. Enfin, c’est le vieux débat entre variant et contravariant…
Tukikun on 7 avril 2010 at 23 h 12 min said:

MathOMan :

doit-on considérer les ensembles finis comme dénombrables?

J’espère que la plupart des auteurs définit la dénombrabilité par l’existence d’une surjection (et pas d’une bijection) partant des nombres naturels.

Il est assez rigolo que les wikipédias anglaises et françaises diffèrent sur ce point (c’est rare, on a souvent une unité entre les articles dans les différentes langues) : l’anglaise admet les ensembles finis comme dénombrables, la française non.
Sinon, ils indiquent dans la française que « Cependant, il est devenu assez courant de réserver l’adjectif « dénombrable » aux seuls ensembles infinis »… Je ne suis pas très convaincu par cette phrase, la plupart des personnes que je connais, et la plupart des énoncés que j’ai lu dans les livres acceptent les ensembles finis (ce qui simplifie souvent les énoncés — e.g. une union dénombrable d’ensemble dénombrables est dénombrable : ceci regroupent les cas finis/dénombrables qui alourdiraient l’énoncé inutilement !)
PB on 22 juin 2010 at 13 h 32 min said:

Très bien cette proposition de réforme de la définition de Pi !
Encore des questions à conventions (ou pas) :
- L’espace topologique vide est-il connexe ?
- Quelle est la dimension de Krull de l’anneau nul ?
JoeBanana on 25 juin 2010 at 11 h 37 min said:

Bonjour à tous,

Au sujet des ensembles dénombrables, j’ai appris pour ma part que ce sont ceux que l’on peut mettre en bijection avec tout ou partie de N (l’ensemble des entiers naturels)…

Plus généralement sur le site, il est intéressant, bon courage pour la suite.
Gagbill on 25 juin 2010 at 19 h 44 min said:

J’aimerais ajouter à cette liste le problème suivant: « existe t-il un nombre parfait impair? ».
Cordialement
Tukikun on 30 juin 2010 at 10 h 01 min said:

Gagbill :

J’aimerais ajouter à cette liste le problème suivant: « existe t-il un nombre parfait impair? ».
Cordialement

Hum… ce n’est pas polémique ça, c’est une conjecture; mais il n’y a pas sujet à controverse.
Gagbill on 29 juillet 2010 at 22 h 55 min said:

@Tukikun
Bien recu… Dans ce cas, j’attend vivement un article sur ce sujet de votre part.
PS: Ce site est fabuleux. Je vous encourage dans votre quête.
Cordialement

Kilomaths.com

Un autre blog de maths…

Sujets polémiques en mathématiques

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