Commentaires sur : Preuve topologique de l’infinitude des nombres premiers http://www.kilomaths.com/2010/02/preuve-topologique-de-linfinitude-des-nombres-premiers/ Un autre blog de maths... Sat, 03 Jul 2010 20:09:42 +0000 hourly 1 http://wordpress.org/?v=3.0 Par : Grasyop http://www.kilomaths.com/2010/02/preuve-topologique-de-linfinitude-des-nombres-premiers/comment-page-1/#comment-830 Grasyop Mon, 19 Apr 2010 15:37:12 +0000 http://www.kilomaths.com/?p=213#comment-830 Intéressant. Et comme vous dites, le titre en jette. Mais à y regarder de plus près, est-il vraiment mérité ? On n'utilise ici aucun résultat de topologie, uniquement les définitions. Il ne s'agit pas vraiment d'un nouveau raisonnement ; je dirais plutôt que c'est, à peu de choses près, une présentation topologique du bon vieux raisonnement d'Euclide. Regardons ces deux raisonnements en parallèle : Tous deux procèdent par l'absurde en supposant qu'il n'existe qu'un nombre fini de nombres premiers : $latex p_1 \cdots p_n$. Autrement dit, $latex \mathbb{Z}=\{-1;1\} \cup \bigcup_{i=1}^n p_i\mathbb{Z}.$ - Ce que dit le raisonnement topologique ci-dessus, c'est : (complémentaires dans $latex \mathbb{Z}$) $latex \left(\bigcup_{i=1}^n p_i\mathbb{Z}\right)^c=\bigcap_{i=1}^n \left(p_i\mathbb{Z}\right)^c = \bigcap_{i=1}^n \bigcup_{k=1}^{p_i-1}\left(k+p_i\mathbb{Z}\right) = \bigcup_{j\in J} a_j+\left(\prod_{i=1}^{n}p_i\right)\mathbb{Z},$ qui est non vide car contenant $latex \{-1;1\}$, et est donc infini, donc contient strictement $latex \{-1;1\}$. Contradiction. - Ce n'est pas très éloigné du raisonnement d'Euclide : $latex \left(\bigcup_{i=1}^n p_i\mathbb{Z}\right)^c=\bigcap_{i=1}^n \left(p_i\mathbb{Z}\right)^c \supset \bigcap_{i=1}^n 1+p_i\mathbb{Z} = 1+\left(\prod_{i=1}^{n}p_i\right)\mathbb{Z}.$ En particulier, $latex 1+\left(\prod_{i=1}^{n}p_i\right) \in \left(\bigcup_{i=1}^n p_i\mathbb{Z}\right)^c = \{-1;1\}$. Contradiction. Intéressant. Et comme vous dites, le titre en jette.

Mais à y regarder de plus près, est-il vraiment mérité ? On n’utilise ici aucun résultat de topologie, uniquement les définitions. Il ne s’agit pas vraiment d’un nouveau raisonnement ; je dirais plutôt que c’est, à peu de choses près, une présentation topologique du bon vieux raisonnement d’Euclide. Regardons ces deux raisonnements en parallèle :

Tous deux procèdent par l’absurde en supposant qu’il n’existe qu’un nombre fini de nombres premiers : p_1 \cdots p_n. Autrement dit, \mathbb{Z}=\{-1;1\} \cup \bigcup_{i=1}^n p_i\mathbb{Z}.

- Ce que dit le raisonnement topologique ci-dessus, c’est :
(complémentaires dans \mathbb{Z})
\left(\bigcup_{i=1}^n p_i\mathbb{Z}\right)^c=\bigcap_{i=1}^n \left(p_i\mathbb{Z}\right)^c = \bigcap_{i=1}^n \bigcup_{k=1}^{p_i-1}\left(k+p_i\mathbb{Z}\right) = \bigcup_{j\in J} a_j+\left(\prod_{i=1}^{n}p_i\right)\mathbb{Z},
qui est non vide car contenant \{-1;1\}, et est donc infini, donc contient strictement \{-1;1\}. Contradiction.

- Ce n’est pas très éloigné du raisonnement d’Euclide :
\left(\bigcup_{i=1}^n p_i\mathbb{Z}\right)^c=\bigcap_{i=1}^n \left(p_i\mathbb{Z}\right)^c \supset \bigcap_{i=1}^n 1+p_i\mathbb{Z} = 1+\left(\prod_{i=1}^{n}p_i\right)\mathbb{Z}.
En particulier, 1+\left(\prod_{i=1}^{n}p_i\right) \in \left(\bigcup_{i=1}^n p_i\mathbb{Z}\right)^c = \{-1;1\}. Contradiction.

]]> Par : Paul Pichaureau http://www.kilomaths.com/2010/02/preuve-topologique-de-linfinitude-des-nombres-premiers/comment-page-1/#comment-829 Paul Pichaureau Mon, 19 Apr 2010 07:25:04 +0000 http://www.kilomaths.com/?p=213#comment-829 C'est joli. Et ça fait un excellent exercice de math ! :-) C’est joli. Et ça fait un excellent exercice de math ! :-)

]]> Par : LB http://www.kilomaths.com/2010/02/preuve-topologique-de-linfinitude-des-nombres-premiers/comment-page-1/#comment-802 LB Thu, 18 Feb 2010 11:05:55 +0000 http://www.kilomaths.com/?p=213#comment-802 Selon un gentil historien des mathématiques rennais, ça viendrait de lui ;) : http://fr.wikipedia.org/wiki/Hillel_Furstenberg Selon un gentil historien des mathématiques rennais, ça viendrait de lui ;) :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Hillel_Furstenberg

]]> Par : Simon http://www.kilomaths.com/2010/02/preuve-topologique-de-linfinitude-des-nombres-premiers/comment-page-1/#comment-801 Simon Thu, 18 Feb 2010 11:01:39 +0000 http://www.kilomaths.com/?p=213#comment-801 C'est très joli, et un peu un ovni de la topo géné, mais ça n'est pas peu connu... Je ne sais pas qui l'a trouvée en premier, mais depuis que ça a été mis dans "Proofs from the book", c'est dans plein de TD de topologie de L3 :) D'ailleurs ça devrait être mis d'office dans tous ! C’est très joli, et un peu un ovni de la topo géné, mais ça n’est pas peu connu… Je ne sais pas qui l’a trouvée en premier, mais depuis que ça a été mis dans « Proofs from the book », c’est dans plein de TD de topologie de L3 :) D’ailleurs ça devrait être mis d’office dans tous !

]]> Par : MathOMan http://www.kilomaths.com/2010/02/preuve-topologique-de-linfinitude-des-nombres-premiers/comment-page-1/#comment-800 MathOMan Sat, 13 Feb 2010 20:04:24 +0000 http://www.kilomaths.com/?p=213#comment-800 En effet, c'est original ! En effet, c’est original !

]]> Par : Tukikun http://www.kilomaths.com/2010/02/preuve-topologique-de-linfinitude-des-nombres-premiers/comment-page-1/#comment-798 Tukikun Thu, 04 Feb 2010 19:36:56 +0000 http://www.kilomaths.com/?p=213#comment-798 C'est très sympathique et original comme preuve (et sans doute peu connu)... j'aime ! Ca ne demande que des rudiments de topologie générale, donc c'est assez marrant. Merci de partager cela ! C’est très sympathique et original comme preuve (et sans doute peu connu)… j’aime ! Ca ne demande que des rudiments de topologie générale, donc c’est assez marrant.

Merci de partager cela !

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