Preuve topologique de l’infinitude des nombres premiers

Voilà un titre qui en jette un maximum! J’ai lu dans l’excellent livre Raisonnements divins (chez Springer) une démonstration étonnante du fait qu’il existe une infinité de nombres premiers. Elle est d’un niveau élevé car elle fait appel à des notions de topologie générale, mais elle est assez élémentaire pour qui connait cette théorie. Je la livre donc ici.

On définit une topologie sur $\mathbb Z$ en disant que les ouverts sont le vide et les $O \subset \mathbb Z$ vérifiant que pour tout entier $a\in O$ , il existe un entier $b>0$ tel que $a+b\mathbb Z\subset O$ . Il est clair que la réunion quelconque d’ouverts est un ouvert. De plus, si $O_1,O_2$ sont des ouverts, ou bien l’intersection est vide et $O_1 \cap O_2$ est un ouvert, ou bien pour $a \in O_1 \cap O_2$ , on a $a+b_1b_2\mathbb Z \subset O_1 \cap O_2$ , avec des entiers $b_1,b_2>0$ tels que $a+b_1\mathbb Z\subset O_1$ et $a+b_2\mathbb Z\subset O_2$ . Finalement, $O_1 \cap O_2$ est un ouvert. On a donc bien une topologie sur $\mathbb Z$ .

On remarque d’une part que tout ouvert non vide est infini (car par définition il contient un ensemble infini), et d’autre part que tout ensemble du type $a+b\mathbb Z$ , avec $a,b$ des entiers ( $b>0$ ), est un fermé. En effet, on a

$\displaystyle a+b\mathbb Z=\mathbb Z-\left(\bigcup_{k=1}^{b-1} [a+k+b\mathbb Z]\right),$

c’est donc le complémentaire d’un ouvert.

Comme tout entier différent de 1 et -1 admet un diviseur premier, on a

$\displaystyle \mathbb Z-\{-1,1\}=\bigcup_p 0+p\mathbb Z$

où la réunion se fait sur tous les nombres premiers $p$ . S’ils étaient en nombre fini, $\bigcup_p 0+p\mathbb Z$ serait fermé comme réunion finie d’ensembles fermés. Par passage au complémentaire, $\{-1,1\}$ serait ouvert, ce qui est absurde car c’est un ensemble fini non vide. Il existe donc une infinité de nombres premiers.

Joli, non?

8 thoughts on “Preuve topologique de l’infinitude des nombres premiers”

C’est très sympathique et original comme preuve (et sans doute peu connu)… j’aime ! Ca ne demande que des rudiments de topologie générale, donc c’est assez marrant.

Merci de partager cela !

En effet, c’est original !

C’est très joli, et un peu un ovni de la topo géné, mais ça n’est pas peu connu… Je ne sais pas qui l’a trouvée en premier, mais depuis que ça a été mis dans « Proofs from the book », c’est dans plein de TD de topologie de L3 D’ailleurs ça devrait être mis d’office dans tous !

Selon un gentil historien des mathématiques rennais, ça viendrait de lui :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Hillel_Furstenberg

C’est joli. Et ça fait un excellent exercice de math !

Intéressant. Et comme vous dites, le titre en jette.

Mais à y regarder de plus près, est-il vraiment mérité ? On n’utilise ici aucun résultat de topologie, uniquement les définitions. Il ne s’agit pas vraiment d’un nouveau raisonnement ; je dirais plutôt que c’est, à peu de choses près, une présentation topologique du bon vieux raisonnement d’Euclide. Regardons ces deux raisonnements en parallèle :

Tous deux procèdent par l’absurde en supposant qu’il n’existe qu’un nombre fini de nombres premiers : $p_1 \cdots p_n$ . Autrement dit, $\mathbb{Z}=\{-1;1\} \cup \bigcup_{i=1}^n p_i\mathbb{Z}.$

- Ce que dit le raisonnement topologique ci-dessus, c’est :
(complémentaires dans $\mathbb{Z}$ )
$\left(\bigcup_{i=1}^n p_i\mathbb{Z}\right)^c=\bigcap_{i=1}^n \left(p_i\mathbb{Z}\right)^c = \bigcap_{i=1}^n \bigcup_{k=1}^{p_i-1}\left(k+p_i\mathbb{Z}\right) = \bigcup_{j\in J} a_j+\left(\prod_{i=1}^{n}p_i\right)\mathbb{Z},$
qui est non vide car contenant $\{-1;1\}$ , et est donc infini, donc contient strictement $\{-1;1\}$ . Contradiction.

- Ce n’est pas très éloigné du raisonnement d’Euclide :
$\left(\bigcup_{i=1}^n p_i\mathbb{Z}\right)^c=\bigcap_{i=1}^n \left(p_i\mathbb{Z}\right)^c \supset \bigcap_{i=1}^n 1+p_i\mathbb{Z} = 1+\left(\prod_{i=1}^{n}p_i\right)\mathbb{Z}.$
En particulier, $1+\left(\prod_{i=1}^{n}p_i\right) \in \left(\bigcup_{i=1}^n p_i\mathbb{Z}\right)^c = \{-1;1\}$ . Contradiction.

En réalité il s’agit encore une fois de beaucoup trop de symboles pour rien. Les nombres premiers peuvent être finis et/ou infinis, en fonction du référentiel qui les fait exister. Il n’y avait rien à démontrer.

J’aimerais bien voir un « référentiel » dans lequel les nombres premiers sont finis. Et aussi pourquoi « il n’y a rien à démontrer »…

Kilomaths.com

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Preuve topologique de l’infinitude des nombres premiers

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