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Le théorème de Wielandt

26/01/2010 Valvino Aucun commentaire

La fonction gamma \Gamma prolonge la notion de factorielle sur l’ensemble des nombres complexes privés des entiers négatifs ou nul. Il s’agit là d’une fonction holomorphe, sauf aux entiers négatifs ou nul où elle admet des pôles. C’est donc une fonction méromorphe sur les nombres complexes.

On dispose de plusieurs caractérisations de cette fonction. Citons le théorème de Bohr-Mollerup :

Soit une fonction f:]0,+\infty[ \to ]0,+\infty[ telle que

  1. f(1)=1;
  2. f(x+1)=xf(x) pour tout x>0;
  3. f est log-convexe, c’est-à-dire que \log(f) est une fonction convexe.

Alors f(x)=\Gamma(x) pour tout x>0.

On dispose d’une autre caractérisation, il s’agit du théorème de Wielandt :

Soit f une fonction holomorphe sur \mathrm{Re}(z)>0 telle que

  1. f(1)=1;
  2. f(z+1)=zf(z) pour tout \mathrm{Re}(z)>0;
  3. f est bornée dans la bande 1 \leq \mathrm{Re}(z) \leq 2.

Alors f(z)=\Gamma(z) pour tout \mathrm{Re}(z)>0.

Je me propose de faire une esquisse de la démonstration.

On remarque tout d’abord que l’on peut étendre f sur l’ensemble des nombres complexes privés des entiers négatifs ou nul par 2. en suivant la même méthode que pour la fonction gamma. Ensuite, on remarque avec 1. que les résidus aux pôles sont les mêmes que ceux de la fonction gamma. Ainsi, la fonction g=f-\Gamma est une fonction entière.

Ensuite, on remarque que g est bornée sur la bande 0 \leq \mathrm{Re}(z) \leq 1. Pour cela, il suffit de remarquer que c’est le cas sur la bande 1 \leq \mathrm{Re}(z) \leq 2, en faisant une majoration explicite sur la formule définissant \Gamma. On utilise ensuite 2. pour se ramener à la bande 0 \leq \mathrm{Re}(z) \leq 1, le problème en 0 étant effaçable par 1.

Enfin, on pose h(z)=g(z)g(1-z).  Par ce qui précède, c’est une fonction entière bornée dans la bande 0 \leq \mathrm{Re}(z) \leq 1. De plus, h(z+1)=-h(z), ce qui montre que h est une fonction bornée sur l’ensemble des nombres complexes. Par le théorème de Liouville, elle est constante. Comme h(1)=0, on a h=0, c’est-à-dire g=0. Finalement, f=\Gamma.

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Maths et magie, racine septième d’un entier

11/01/2010 Tukikun un commentaire

Si vous voulez impressionner des amis (ou des élèves) par vos performances en calcul mental, mais que malheureusement, vous n’êtes pas aussi doués que d’autres mathématiciens, vous pourriez être tenté d’utiliser quelques petites astuces…

Comment extraire une racine septième d’un entier ?

Demandez à la personne en face de vous d’élever un nombre (entier, cela va de soi, sinon votre tour tombe à l’eau) compris entre 1 et 100 à la puissance 7, avec une calculatrice scientifique (la petite calculatrice aura du mal à afficher 100^7=10^{14}, c’est-à-dire 100 000 milliards…, et qu’elle vous annonce le résultat.

Supposons par exemple qu’elle annonce 3 938 980 639 167. Écrivez le nombre sur votre feuille en séparant tous les 3 chiffres (comme on le fait naturellement en français).

Première étape : déterminons le chiffre des unités du nombre élevé à la puissance 7. On regarde alors le chiffre des unités du nombre qui nous a été donné :

3 938 980 639 167

Puis on regarde discrètement dans ce petit tableau qu’on a caché (ou mieux, qu’on a appris par coeur tellement il est simple) à quoi correspond ce chiffre 7 :

Chiffre des unités du nombre donné 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Chiffre des unités du nombre initial 0 1 8 7 4 5 6 3 2 9

Le nombre initial fini donc par un 3 ! Les plus savants peuvent retenir que ce tableau correspond exactement à la permutation (3,7)(2,8)…

Deuxième étape : Déterminons maintenant le nombre de dizaines. Pour cela on regarde le nombre de milliards qui figurent dans le nombre donné, c’est-à-dire qu’on oublie les 9 premiers chiffres. Dans notre exemple :

3 938 980 639 167

Puis on regarde discrètement dans ce petit tableau qu’on a caché (ou mieux, qu’on a appris par coeur… parce qu’il n’y a que 10 valeurs à retenir) où se situe ce nombre 3938 :

Nombre de milliards du nombre donné 0 0,01 1 21 163 780 2700 8000 20000 47000 100000
Nombre de dizaines du nombre initial 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

On voit bien que 3938 se situe entre 2700 et 8000. On prend donc le nombre de dizaines du nombre le plus petit entre 6 et 7, c’est-à-dire 6.

Finalement, vous pouvez annoncer fièrement votre résultat : le nombre de départ était 63 !

Comment ça fonctionne ?

Il est remarquable qu’à la puissance 7, les chiffres des unités des puissances septième soient tous différents selon le chiffre des unités de départ, et on retrouve exactement les mêmes résultats aux puissances 3 et 5. Même mieux, à la puissance 9, le chiffre des unités de la racine neuvième est exactement le chiffre des unité du nombre final !

D’autre part, les encadrements données dans le second tableau sont simplement ceux que l’on obtient en calculant les puissances septièmes des différentes dizaines, entre 10 et 100, puis en les divisant pas 1 000 000 000, et en arrondissant.

Il convient juste de faire attention lorsque l’on arrondit de ne pas les rendre inférieurs à la puissance septième située immédiatement en dessous. Par exemple, 60^7 = 2 779,36 milliards et 59^7 = 2 488,… milliards, donc on peut arrondir à 2700, 2600 ou 2500 mais pas moins, et du ce fait les puissances septièmes des nombres ayant 5 pour dizaine seront situés sous la barre des 2 700 (ou 2 600, ou 2 500) milliards.

On pourra s’amuser si on le souhaite trouver des moyens équivalents pour calculer des racines cubiques, cinquième ou neuvième des entiers inférieurs à 100.

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