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Prenez une feuille de papier, et un stylo. Tracez une ligne, avec pour conditions

1. ne pas lever le stylo;
2. ne pas repasser par dessus la ligne;
3. refermer la ligne sur elle-même à la fin.

Une ligne respectant les conditions.

Le théorème de Jordan vous dit alors que vous avez découpé votre feuille en deux parties d’un seul bloc, avec une partie finie et l’autre infinie (si on considère que le papier pourrait être aussi grand que l’on veut). Et là bien sûr vous vous dites qu’il ne faut pas sortir de Polytechnique pour établir des résultats aussi évidents… Hé bien, en dépit de son apparente simplicité, ce théorème est très difficile à démontrer. Tout réside dans le fait qu’il existe des lignes dans le plan très vicieuses…

Commençons par énoncer rigoureusement le théorème. Tout d’abord, on définit une courbe (c’est-à-dire une ligne) comme une fonction qui part de l’intervalle et qui va dans le plan. D’une certaine manière, peut être vu comme le temps (0 le début du tracé, 1 la fin) et le point tracé exactement à l’instant . On exige que cette fonction soit continue (la condition de ne pas lever le stylo), ainsi la courbe est « en un seul morceau ». De plus, on veut que la courbe se referme sur elle-même à la fin, donc on exige . Enfin, il ne faut pas que la courbe repasse sur elle-même, on veut donc que à deux instants et qui ne sont pas exactement 0 et 1. On a donc une condition d’injectivité de la courbe (la courbe doit être injective sur et ). Les courbes ainsi définies portent le doux nom de courbes de Jordan.

Comment formaliser le concept d’être « d’un seul bloc »? On dit qu’une partie du plan est connexe (c’est-à-dire d’un seul bloc) si on peut toujours passer d’un point de cette partie à un autre par une courbe continue.

La partie A est connexe, alors que B ne l'est pas.

Rappelons que le complémentaire d’une partie du plan est tout simplement la partie du plan constituée des points qui ne sont pas dans la première. Deux parties du plan sont dites disjointes si elles n’ont pas de points en commun. Enfin, une partie du plan est dite bornée quand on peut l’inclure dans un disque de rayon fini.

On peut alors énoncer correctement le théorème de Jordan :

Le complémentaire d’une courbe de Jordan est constitué de deux parties connexes qui sont disjointes. L’une est bornée, et l’autre non.

Pourquoi ce théorème est-il si difficile à démontrer? Tout simplement parce qu’il existe des courbes de Jordan très vicieuses. Comme exemple, prenons une courbe de Jordan de type fractale appelée flocon de von Koch. Sans rentrer dans les détails, c’est une courbe obtenue en itérant une infinité de fois le procédé décrit dans l’animation suivante :

Les premières étapes de la construction du flocon de von Koch.

Le problème de ce genre de courbe est qu’il est difficile de savoir si deux points peuvent être reliés par une courbe continue qui ne passe pas par dessus le flocon à cause des innombrables radicelles que forme la courbe. C’est ce qui fait la difficulté de ce théorème!

Pour plus d’informations, vous pouvez consulter le très bon article wikipédia sur le sujet.