La topologie est la branche des mathématiques qui étudie des concepts comme la distance, la continuité, la notion de limite.
Prenons comme point de départ la notion de distance. À priori, rien de bien profond, cela ne dépasse pas le stade de mesurer avec une règle la distance qui sépare deux points. Cependant, les mathématiques s’autorisent à parler d’autres distances. Et elles ne sortent pas que de leur imaginaire tordu!
Tout le monde s’accorde à dire que sa maison est proche de celle de son voisin. Mais mettons-nous dans la peau d’un employé de France Telecom (pas trop sinon cela risque de mal tourner…). De son point de vue (les télécommunications), la maison de monsieur X peut être assez distante de celle de madame Y, alors qu’ils sont voisins! En effet, si X téléphone à Y pour convenir d’un rendez-vous galant, le signal passera par des centaines de kilomètres de câbles avant d’arriver. Supposons que X et Y habitent à Toulouse et que le signal passe par Paris. Alors on peut considérer du point de vue de France Telecom que la distance entre la maison de X et la mienne (j’habite en région parisienne) est plus petite que la distance entre la maison de X et celle de Y, qui sont pourtant voisins, car le signal met moins de temps pour aller de chez X à chez moi que de chez X à chez Y.
Cet exemple montre qu’il est pertinent de considérer d’autres notions de distance. À titre d’exemple, il existe une distance appelée distance SNCF sur le plan qui consiste à dire que la distance entre deux points P et Q du plan est égale à la distance usuelle si les deux points sont alignés avec l’origine O, et sinon égale à la somme de la distance entre P et O et la distance entre Q et O. Elle porte ce nom en référence au fait qu’il est souvent plus rapide de passer par une correspondance à Paris pour rejoindre deux villes de province par le train.
La distance entre P et Q est plus grande que celle entre P et R, au sens de la distance SNCF.
Citons une dernière distance sur le plan. Prenons le jeu d’échec. La tour ne se déplace qu’en ligne droite. La distance entre deux cases est donc la somme de la distance à parcourir horizontalement et de la distance à parcourir verticalement.
La distance à parcourir pour la tour afin de rejoindre la croix rouge est de 9 cases.
Les mathématiques ont formalisé la notion de distance, afin de mieux les comprendre. On procède de la manière suivante : prenons un ensemble 
(la distance entre un premier point et un second est la même que la distance entre le second et le premier);
- si
alors
et réciproquement (si la distance entre deux points est nulle, alors ces deux points sont les mêmes, et réciproquement);
(la distance entre deux points est toujours plus petite que la somme de la distance du premier point à un troisième et de la distance du troisième au deuxième).
La distance des échecs vue plus haut pourrait alors se formaliser en disant que la distance entre deux points du plan 
Le lecteur consciencieux pourra démontrer que les trois propriétés sont bien vérifiées. On peut remarquer une chose amusante au sujet de cette distance. Si on définit le cercle de rayon 1 comme l’ensemble des points dont la distance au centre est 1, alors ce cercle est… un carré!
Une fois cette notion de distance établie, la topologie s’intéresse à des concepts comme la notion de voisinage : comme définir proprement la notion d’être proche au sens d’une distance? Ou encore la notion de continuité : un phénomène entre deux ensembles muni d’une distance (pas nécessairement les mêmes) est dit continu si les conséquences varient peu (au sens de la distance considérée sur le deuxième ensemble)) lorsque les causes sont proches (au sens de la distance considérée sur le premier ensemble).