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Jeudi 24 septembre 2009, des chercheurs américains et thaïlandais ont annoncé avoir mis au point un vaccin permettant de réduire de 31,2 % les infections au virus du sida. Cette information a circulé tout autour de la terre comme un formidable message d’espoir… Dans l’article que j’ai lu, ils parlaient d’une expérience effectuée sur 16000 individus… qui ont été divisés en deux groupes, l’un ayant le vaccin et le second un placebo. Cependant, aucune autre information n’était disponible : combien de cas de sida dans chaque groupe, comment ont été constitués les groupes, quels étaient les risques de contamination des individus, et un certain nombre d’informations importantes… Et surtout : comment ce nombre de 31,2% a-t-il été calculé ?

Ne disposant pas de ces résultats et voulant mettre en garde les étudiants de médecine auxquels je donnais des cours cette année, je leur ai fait tester l’hypothèse : « le vaccin n’a aucun effet » sur un échantillon de 16000 personnes, 6000 ayant reçu le vaccin et 10000 un placebo; avec une prévalence (très élevée) de 1% dans la population. Ainsi, sur le groupe de 10 000 individus, 100 présentaient le virus, et 42 parmi le groupe ayant été vacciné, ce qui – ramené à effectif comparable – est une baisse de 30% du virus du sida. Après de petits calculs, on ne peut pas rejeter l’hypothèse faite au risque 5%… c’est-à-dire qu’il est possible que les différences d’effectifs soient le seul fait du hasard (mais pas forcément que le vaccin n’a eu aucun effet) à 95% ! Conclusion : impossible d’en dire plus…

Aujourd’hui, je suis tombé sur une brève de l’AFP, expliquant un peu mieux comment ont été formés les groupes, etc. En refaisant une comparaison de pourcentage à l’aide du test du , on obtient au risque 5% le rejet de l’hypothèse, c’est-à-dire qu’avec un risque de 5% de se tromper, on peut dire que le vaccin a eu un effet ! Bon, après, il faut relativiser : le chiffre avancé de 31,2% est assez… arbitraire ! Rien ne dit que le vaccin provoque une immunité dans 30% des cas : ce chiffre est fortement contesté par la communauté scientifique. De plus, ce sont deux groupes de volontaires, donc ce n’est pas un essai thérapeutique randomisé, on ne sait pas s’il s’agit d’un test en double aveugle (c’est-à-dire médecins et patients ignorent s’ils ont le vaccin ou un placebo) ou si seul le patient ignore le produit qui lui a été injecté. On ne sait rien des effets à long terme, et on ne sait pas si ce vaccin serait utilisable en Afrique (population à haut risque, avec un type différent de virus) !

Bref, une modeste avancée, mais qui s’avère statistiquement significative au risque 5%… Mais on est loin des 31,2% de protection annoncés !

Le matraquage médiatique et les pourcentages lancés sans aucune explication permettent une manipulation importante d’une population non prévenue… Il existe de nombreux exemples de cette manipulation :

- Suite au premier tour de l’élection présidentielle française en 2002 (et la surprise pour une grande partie des français des résultats du front national), le canard enchaîné (hebdomadaire satirique) avait publié une image mettant en avant la corrélation entre les retombées radioactives de Tchernobyl et les résultats du Front National dans les départements

Corrélation entre les retombées radioactives de Tchernobyl et le vote en faveur du Front National

Mais ce qu’il faut savoir, c’est qu’une corrélation entre deux phénomènes de ce genre, en mathématiques, indique une relation du genre :

si on est dans une région ayant eu de fortes retombées suite à la catastrophe de Tchernobyl, alors le vote Front National est élevé dans notre région, et inversement

En effet, si notre département a beaucoup voté FN, on doit être dans l’est et du coup, il y a de grandes chances que les retombées du nuage radioactif aient été importantes. Mais il n’y a pas forcément dépendance entre les événements, c’est-à-dire que ça ne signifie pas qu’un des éléments a causé le second !

- Quand la sécurité routière annonce des pourcentages, elle dit qu’il y a par exemple 97% des accidents sur des lignes droites le jour et 3% la nuit, et donc qu’il faut être prudent le jour aussi, etc. Ce qu’elle ne mentionne pas, c’est qu’il y a beaucoup plus de circulation le jour que la nuit, et que proportionnellement, la probabilité d’avoir un accident sur une ligne droite le jour est très faible, alors que cette probabilité est beaucoup plus importante de nuit !

Les nombres permettent de manipuler les individus, il convient de rester vigilant et critique envers tous ces pourcentages qui jonchent l’actualité !

La topologie est la branche des mathématiques qui étudie des concepts comme la distance, la continuité, la notion de limite.

Prenons comme point de départ la notion de distance. À priori, rien de bien profond, cela ne dépasse pas le stade de mesurer avec une règle la distance qui sépare deux points. Cependant, les mathématiques s’autorisent à parler d’autres distances. Et elles ne sortent pas que de leur imaginaire tordu!

Tout le monde s’accorde à dire que sa maison est proche de celle de son voisin. Mais mettons-nous dans la peau d’un employé de France Telecom (pas trop sinon cela risque de mal tourner…). De son point de vue (les télécommunications), la maison de monsieur X peut être assez distante de celle de madame Y, alors qu’ils sont voisins! En effet, si X téléphone à Y pour convenir d’un rendez-vous galant, le signal passera par des centaines de kilomètres de câbles avant d’arriver. Supposons que X et Y habitent à Toulouse et que le signal passe par Paris. Alors on peut considérer du point de vue de France Telecom que la distance entre la maison de X et la mienne (j’habite en région parisienne) est plus petite que la distance entre la maison de X et celle de Y, qui sont pourtant voisins, car le signal met moins de temps pour aller de chez X à chez moi que de chez X à chez Y.

Cet exemple montre qu’il est pertinent de considérer d’autres notions de distance. À titre d’exemple, il existe une distance appelée distance SNCF sur le plan qui consiste à dire que la distance entre deux points P et Q du plan est égale à la distance usuelle si les deux points sont alignés avec l’origine O, et sinon égale à la somme de la distance entre P et O et la distance entre Q et O. Elle porte ce nom en référence au fait qu’il est souvent plus rapide de passer par une correspondance à Paris pour rejoindre deux villes de province par le train.

La distance entre P et Q est plus grande que celle entre P et R, au sens de la distance SNCF.

Citons une dernière distance sur le plan. Prenons le jeu d’échec. La tour ne se déplace qu’en ligne droite. La distance entre deux cases est donc la somme de la distance à parcourir horizontalement et de la distance à parcourir verticalement.

La distance à parcourir pour la tour afin de rejoindre la croix rouge est de 9 cases.

Les mathématiques ont formalisé la notion de distance, afin de mieux les comprendre. On procède de la manière suivante : prenons un ensemble de points (par exemples le plan ou l’espace). La distance entre deux points et de est un nombre positif noté qui doit vérifier les trois propriétés suivantes :

• (la distance entre un premier point et un second est la même que la distance entre le second et le premier);
• si alors et réciproquement (si la distance entre deux points est nulle, alors ces deux points sont les mêmes, et réciproquement);
• (la distance entre deux points est toujours plus petite que la somme de la distance du premier point à un troisième et de la distance du troisième au deuxième).

La distance des échecs vue plus haut pourrait alors se formaliser en disant que la distance entre deux points du plan et est

Le lecteur consciencieux pourra démontrer que les trois propriétés sont  bien vérifiées. On peut remarquer une chose amusante au sujet de cette distance. Si on définit le cercle de rayon 1 comme l’ensemble des points dont la distance au centre est 1, alors ce cercle est… un carré!

Une fois cette notion de distance établie, la topologie s’intéresse à des concepts comme la notion de voisinage : comme définir proprement la notion d’être proche au sens d’une distance? Ou encore la notion de continuité : un phénomène entre deux ensembles muni d’une distance (pas nécessairement les mêmes) est dit continu si les conséquences varient peu (au sens de la distance considérée sur le deuxième ensemble)) lorsque les causes sont proches (au sens de la distance considérée sur le premier ensemble).