Commentaires sur : Les nombres complexes existent-ils ? http://www.kilomaths.com/2009/09/les-nombres-complexes-existent-ils/ Un autre blog de maths... Sun, 29 Aug 2010 18:44:20 +0000 hourly 1 http://wordpress.org/?v=3.0.1 Par : PB http://www.kilomaths.com/2009/09/les-nombres-complexes-existent-ils/comment-page-1/#comment-22 PB Thu, 01 Oct 2009 22:03:13 +0000 http://www.kilomaths.com/wordpress/?p=65#comment-22 Ce que je trouve très chouette, ce sont les phénomènes qui ont lieu par exemple dans $latex \mathbb{R}$, que l'on peut énoncer sans connaître les complexes, mais que l'on ne comprends bien qu'avec les complexes. Exemple : sur $latex \mathbb{R}$, toute fonction polynomiale est un produit de fonctions polynomiales de degré 1 ou 2. Ce que je trouve très chouette, ce sont les phénomènes qui ont lieu par exemple dans \mathbb{R}, que l’on peut énoncer sans connaître les complexes, mais que l’on ne comprends bien qu’avec les complexes.
Exemple : sur \mathbb{R}, toute fonction polynomiale est un produit de fonctions polynomiales de degré 1 ou 2.

]]> Par : JLT http://www.kilomaths.com/2009/09/les-nombres-complexes-existent-ils/comment-page-1/#comment-21 JLT Fri, 25 Sep 2009 19:55:03 +0000 http://www.kilomaths.com/wordpress/?p=65#comment-21 La vidéo de E. Ghys dit de manière vulgarisée que les nombres complexes sont les similitudes directes du plan (de centre O). Comme on a une intuition de ce qu'est une rotation ou une homothétie, il est plus facile d'admettre l'existence des nombres complexes avec une telle définition. De plus, l'existence du produit de deux nombres complexes devient alors claire. Cependant, je ne vois pas de manière élémentaire de montrer que la somme de deux similitudes directes est encore une similitude directe, si ce n'est en montrant que les similitudes directes sont les applications de la forme [latex](x,y) \mapsto (ax-by,bx+ay).[/latex] Sinon, le concept originel de C n'est en réalité pas géométrique mais consiste à rajouter une racine carrée de 1, ce qui revient réellement à définir C comme le corps de rupture du polynome X^2+1, mais c'est bien sûr trop abstrait pour des lycéens. La vidéo de E. Ghys dit de manière vulgarisée que les nombres complexes sont les similitudes directes du plan (de centre O). Comme on a une intuition de ce qu’est une rotation ou une homothétie, il est plus facile d’admettre l’existence des nombres complexes avec une telle définition. De plus, l’existence du produit de deux nombres complexes devient alors claire. Cependant, je ne vois pas de manière élémentaire de montrer que la somme de deux similitudes directes est encore une similitude directe, si ce n’est en montrant que les similitudes directes sont les applications de la forme (x,y) \mapsto (ax-by,bx+ay).

Sinon, le concept originel de C n’est en réalité pas géométrique mais consiste à rajouter une racine carrée de 1, ce qui revient réellement à définir C comme le corps de rupture du polynome X^2+1, mais c’est bien sûr trop abstrait pour des lycéens.

]]> Par : Kittie http://www.kilomaths.com/2009/09/les-nombres-complexes-existent-ils/comment-page-1/#comment-20 Kittie Fri, 25 Sep 2009 16:25:25 +0000 http://www.kilomaths.com/wordpress/?p=65#comment-20 Je n'ai en effet jamais étudié dans les cours de prépa la construction des ensembles. Pourtant, la construction des réels par les coupures de Dedekind, par exemple, ne demande pas de connaissances faramineuses, et l'axiomatique de N de Peano se fait très bien aussi ; je ne les ai vu qu'en L3 et prépa capes. En ce qui concerne l'appréhension des complexes, il est intéressant de remarquer que les entiers négatifs n'ont pas plus de réalité objective, à tel point que les mathématiciens n'ont formalisé leur statut que vers le début 17ème. Simplement, leur usage est tellement répandu (compta, température, heure...) que leur existence est admise dans la pensée collective. Tout comme les négatifs se visualisent sur la droite réelle à gauche du zéro, C n'est autre qu'une représentation de R². Mais il n'est pas suprenant que ce i²=-1 rebute les élèves de terminale : ils ne sont pas encore bien habitués aux concepts abstraits et sont mal à l'aise avec les notions qu'ils ne peuvent pas visualiser. Je n’ai en effet jamais étudié dans les cours de prépa la construction des ensembles. Pourtant, la construction des réels par les coupures de Dedekind, par exemple, ne demande pas de connaissances faramineuses, et l’axiomatique de N de Peano se fait très bien aussi ; je ne les ai vu qu’en L3 et prépa capes.
En ce qui concerne l’appréhension des complexes, il est intéressant de remarquer que les entiers négatifs n’ont pas plus de réalité objective, à tel point que les mathématiciens n’ont formalisé leur statut que vers le début 17ème. Simplement, leur usage est tellement répandu (compta, température, heure…) que leur existence est admise dans la pensée collective. Tout comme les négatifs se visualisent sur la droite réelle à gauche du zéro, C n’est autre qu’une représentation de R². Mais il n’est pas suprenant que ce i²=-1 rebute les élèves de terminale : ils ne sont pas encore bien habitués aux concepts abstraits et sont mal à l’aise avec les notions qu’ils ne peuvent pas visualiser.

]]> Par : MathOMan http://www.kilomaths.com/2009/09/les-nombres-complexes-existent-ils/comment-page-1/#comment-19 MathOMan Thu, 24 Sep 2009 21:17:01 +0000 http://www.kilomaths.com/wordpress/?p=65#comment-19 Je conseille une autre explication de la multiplication des nombres complexes, plus intuitive et géométrique que la définition par couples de réels : voir <a href="http://www.dimensions-math.org/Dim_reg_F.htm" title="http://www.dimensions-math.org/Dim_reg_F.htm" rel="nofollow">Dimensions</a> --> Vidéo 5 (passer la minute d'intro de Douady). Je conseille une autre explication de la multiplication des nombres complexes, plus intuitive et géométrique que la définition par couples de réels : voir Dimensions
–> Vidéo 5 (passer la minute d’intro de Douady).

]]> Par : PB http://www.kilomaths.com/2009/09/les-nombres-complexes-existent-ils/comment-page-1/#comment-18 PB Sun, 20 Sep 2009 07:00:58 +0000 http://www.kilomaths.com/wordpress/?p=65#comment-18 > les étudiants de premier cycle de mathématiques voient comment construire les ensembles des entiers relatifs, des rationnels, des nombres réels Hum, malheureusement, seulement les étudiants curieux qui vont à la bibliothèque. Je pense (?) que la plupart des élèves des prépa scientifiques par exemple ne voient pas la construction des ensembles de nombres. > les étudiants de premier cycle de mathématiques voient comment construire les ensembles des entiers relatifs, des rationnels, des nombres réels

Hum, malheureusement, seulement les étudiants curieux qui vont à la bibliothèque. Je pense (?) que la plupart des élèves des prépa scientifiques par exemple ne voient pas la construction des ensembles de nombres.

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