Les nombres complexes existent-ils ?
Bon nombre d’élèves de terminale S se sont posés la question quand le prof a écrit au tableau l’égalité 
Ce qu’il faut bien avoir en tête, c’est que les objets mathématiques sont construits, ils ne sortent pas de nulle part. La règle du jeu, c’est que l’on peut faire tout ce qu’on veut, du moment que la logique est respectée. Par exemple, les étudiants de premier cycle de mathématiques voient comment construire les ensembles des entiers relatifs, des rationnels, des nombres réels, ensembles dont personne ne conteste l’existence. Pourquoi ne pas construire d’autres ensembles que nous facilitent la vie? Certes, c’est souvent très abstrait : un réel peut être défini comme une classe d’équivalence de suite de Cauchy rationnelles modulo la relation d’équivalence « la différence tend vers zéro à l’infini« …
Ce qui est intéressant, c’est que bien que les complexes soient a priori les objets les moins intuitifs que les élèves du lycée rencontrent, la construction de l’ensemble des nombres complexes est beaucoup plus simple que celles des autres ensembles de nombres. Je propose de l’exposer dans les grandes lignes ici.
Un nombre complexe est défini par sa partie réelle et sa partie imaginaire. On a donc envie de dire qu’un nombre complexe, c’est plus ou moins un couple de réels. C’est une bonne piste. On définit donc un nombre complexe 
Après, on veut additionner deux nombres complexes. Ça tombe bien, on dispose d’une addition naturelle sur les couples de nombres réels : on additionne coordonnée par coordonnées On pose donc
Maintenant, on veut définir une multiplication. On pose alors
Certes ça parait sortir de nulle part, mais en fait ces formules ont été établies empiriquement en faisant des calculs, et ici le but est de faire une justification formelle. On pose donc la multiplication comme on a envie qu’elle soit sur les nombres complexes.
Ensuite, il suffit de remarquer que
Cela devient intéressant! On a donc envie de poser 
Je passe sur les détails, mais on identifie le nombre complexe 
Voilà donc comment construire facilement les nombres complexes. Je profite de cet article pour dire à quel point je regrette que ce genre de chose ne soit plus au programme du lycée. Cela ne me semble pas très difficile, les cours de maths feraient moins recettes miracles de cuisine, et surtout cela soulignerait la vraie nature des maths : ce n’est pas que du calcul, mais surtout l’étude rigoureuse d’objets construit logiquement.
Pour approfondir, je vous conseille cette page où il y a des réflexions sur la construction des mathématiques, et la page Wikipédia sur la construction des nombres complexes.
> les étudiants de premier cycle de mathématiques voient comment construire les ensembles des entiers relatifs, des rationnels, des nombres réels
Hum, malheureusement, seulement les étudiants curieux qui vont à la bibliothèque. Je pense (?) que la plupart des élèves des prépa scientifiques par exemple ne voient pas la construction des ensembles de nombres.
Je conseille une autre explication de la multiplication des nombres complexes, plus intuitive et géométrique que la définition par couples de réels : voir Dimensions
–> Vidéo 5 (passer la minute d’intro de Douady).
Je n’ai en effet jamais étudié dans les cours de prépa la construction des ensembles. Pourtant, la construction des réels par les coupures de Dedekind, par exemple, ne demande pas de connaissances faramineuses, et l’axiomatique de N de Peano se fait très bien aussi ; je ne les ai vu qu’en L3 et prépa capes.
En ce qui concerne l’appréhension des complexes, il est intéressant de remarquer que les entiers négatifs n’ont pas plus de réalité objective, à tel point que les mathématiciens n’ont formalisé leur statut que vers le début 17ème. Simplement, leur usage est tellement répandu (compta, température, heure…) que leur existence est admise dans la pensée collective. Tout comme les négatifs se visualisent sur la droite réelle à gauche du zéro, C n’est autre qu’une représentation de R². Mais il n’est pas suprenant que ce i²=-1 rebute les élèves de terminale : ils ne sont pas encore bien habitués aux concepts abstraits et sont mal à l’aise avec les notions qu’ils ne peuvent pas visualiser.
La vidéo de E. Ghys dit de manière vulgarisée que les nombres complexes sont les similitudes directes du plan (de centre O). Comme on a une intuition de ce qu’est une rotation ou une homothétie, il est plus facile d’admettre l’existence des nombres complexes avec une telle définition. De plus, l’existence du produit de deux nombres complexes devient alors claire. Cependant, je ne vois pas de manière élémentaire de montrer que la somme de deux similitudes directes est encore une similitude directe, si ce n’est en montrant que les similitudes directes sont les applications de la forme
Sinon, le concept originel de C n’est en réalité pas géométrique mais consiste à rajouter une racine carrée de 1, ce qui revient réellement à définir C comme le corps de rupture du polynome X^2+1, mais c’est bien sûr trop abstrait pour des lycéens.
Ce que je trouve très chouette, ce sont les phénomènes qui ont lieu par exemple dans
, que l’on peut énoncer sans connaître les complexes, mais que l’on ne comprends bien qu’avec les complexes.
, toute fonction polynomiale est un produit de fonctions polynomiales de degré 1 ou 2.
Exemple : sur