Mesure et pavés

Le problème

Plaçons nous dans l’espace $\mathbb{R}^n, n\geq 2$ . On appelle un pavé un ensemble de la forme
$P=I_1\times I_2\times \cdots\times I_n$
où les $I_j, j\in\left\{1, \ldots, n\right\}$ c’est-à-dire le produit cartésien d’intervalles bornés de $\mathbb{R}$ (fermés, ouverts, demi-fermés : ça n’a pas d’importance !). On définie alors la mesure d’un pavé comme le produit des longueurs des intervalles :
$mes(P)=\ell(I_1) \times \ell(I_2) \times \cdots \times \ell(I_n)$
On rappelle que $\ell(I_j) = sup(I_j)-inf(I_j)$ .

Considérons alors $N$ pavés de $\mathbb{R}^n$ : $P_1, P_2, \ldots, P_N$ , et un pavé $P\subset \bigcup_{i=1}^N P_i$ . Si dans les dimensions 2 ou 3, il semble trivial que la mesure de $P$ est inférieure à la somme des mesures des $P_i$ , c’est-à-dire respectivement que l’aire d’un rectangle inclus dans une union d’autres rectangles est inférieure à la somme des aires de ces rectangles, et que le volume d’un parallélépipède rectangle inclus dans une union d’autres parallélépipèdes rectangles est inférieure à la somme des volumes de ces parallélépipèdes rectangles, est-ce vraiment si trivial dans $\mathbb{R}^n$ ? Ca le semble, bien entendu, mais à ce jour je n’ai pas trouvé de démonstration simple de ce résultat.

$P\subset \bigcup_{i=1}^N P_i \Longrightarrow mes(P)\leq\sum_{i=1}^N mes(P_i)$

Une démonstration

On peut déjà supposer sans perte de généralité (WLOG) que les pavés sont tous fermés.

Idée de la démonstration :

Idée de démonstration

On va raisonner par récurrence sur $N$ le nombre de pavés.

Le cas $N=1$ est clair : si $P=I_1\times I_2\times \cdots \times I_n$ et $Q=J_1\times J_2 \times \cdots \times J_n$ , alors on a

$P\subset Q \Longleftrightarrow \forall i \in \left\{1, \ldots, d\right\}, I_i \subset J_i$

et dans ce cas,

$mes(P) = \ell (I_1)\times \ell(I_2) \times \cdots \times \ell(I_n) \leq\ell (J_1)\times \ell(J_2) \times \cdots \times \ell(J_n) = mes(Q)$

Considérons alors le cas général. Notons $P=I_1\times I_2 \times \cdots \times I_n$ et $P_i = I_{i,1}\times I_{i,2}\times \cdots \times I_{i,n}$ . Pour chaque $j\in \left\{1,\ldots, n\right\}$ , on subdivise l’intervalle $I_j$ de la façon suivante :

$I_j=\left[a^j_1,a^j_2\right]\cup \left[a^j_2,a^j_3\right]\cup \cdots \cup \left[a^j_{m_j},a^j_{m_j+1}\right]$

où $\left\{a^j_k\right\}_{k\in\left\{1, \ldots, m_j\right\}}$ est l’ensemble des extrémités des intervalles $I_j\cap I_{i,j}$ pour $i$ parcourant $1,2,\ldots, N$ .

Notons alors

$E=\left\{k=(k_1, \ldots, k_n) \in \mathbb{N}^n \mid 1\leq k_1\leq n_1, \ldots, 1\leq k_n\leq m_n\right\}$

Pour $k\in E$ , on note $Q_k = \left[a^1_{k_1}, a^1_{k_1+1}\right] \times \left[a^1_{k_2}, a^1_{k_2+1}\right] \times \cdots \times \left[a^1_{k_n}, a^1_{k_n+1}\right]$ . Avec ces notations, on a que $P=\bigcup_{k\in E}Q_k$ , et que

$(E): \qquad mes(P) = \prod_{j=1}^n \ell(I_j) = \prod_{j=1}^n \sum_{k_j=1}^{m_j} \ell \left(\left[a_{k_j}^j, a_{k_j+1}^j\right]\right) = \sum_{k\in E} mes(Q_k)$

Or,

$\sum_{k\in E} mes(Q_k) \leq \sum_{i=1}^N\left(\sum_{k \mid Q_k\subset P_i}mes(Q_k)\right)$

et en appliquant $(E)$ à $P_i\cap P$ , on obtient

$\sum_{k\in E} mes(Q_k) \leq \sum_{i=1}^N mes(P_i\cap P) \leq \sum_{i=1}^N mes(P_i)$

Et c’est, enfin, ce que l’on désirait.

Auriez-vous une idée pour simplifier cette démonstration ? Peut-on réellement considérer le résultat comme trivial sinon ? Je suis preneur de toute réflexion à ce sujet !

3 thoughts on “Mesure et pavés”

PB on 2 août 2009 at 11 h 17 min said:

Bonjour,
Je ne vois pas pourquoi on pourrait considérer ce résultat comme trivial (à moins d’être physicien . On peut le voir comme un petit morceau d’un théorème de prolongement de mesure (du genre Carathéodory’s theorem).
Tukikun on 11 août 2009 at 18 h 03 min said:

Oui, ce théorème est très beau, mais bien long à démontrer… Enfin, je vais rester sur cette démonstration là pour le moment

Merci.
JLT on 14 septembre 2009 at 20 h 24 min said:

Voici une idee de demonstration qui me semble intuitive :
Soit $R_k$ le reseau $(1/k)Z^n$ . On montre d’abord que pour tout pave $P$ de $R^n$ on a $\#(R_k \cap P) \approx (mes(P)) k^n.$

(il est en effet facile d’encadrer $\#(R_k \cap P)$ ).

Comme $\#(R_k \cap P)$ est inferieur a la somme des $\#(R_k \cap P_i)$ , en divisant par $k^n$ et en prenant la limite lorsque $k$ tend vers l’infini on en deduit le resultat.

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