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Un aveugle dans un bar

11/08/2009 Tukikun 3 commentaires

2eurosVoici une petite énigme proposée par un ami

Aujourd’hui, je rentre dans un café de quartier. Au bar, un aveugle est attablé et bois son café. Le patron, d’humeur joueuse par cette après-midi avec peu de monde, propose à l’aveugle un jeu : il dispose devant lui une assiette avec 4 pièces de 2 euro et le but est qu’il mette les 4 pièces dans le même sens.
assiette_euros
L’aveugle retourne autant de pièces qu’il veut, on lui dit si il a gagné et sinon, le patron tourne l’assiette du nombre de quarts de tour qu’il veut et l’aveugle peut recommencer à retourner, et ainsi de suite. Le patron dit qu’à chaque fois qu’il tourne l’assiette, il donnera un euro de moins à l’aveugle.
L’aveugle souris, et rétorque qu’en moins de 7 tours, il est sûr de gagner, et remercie le patron de lui offrir son café (à 1 euro depuis la baisse de la TVA). Ils jouent, et effectivement, l’aveugle gagne au moins 1 euro à chaque fois…
Quelle méthode a-t-il donc adoptée ?

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Mesure et pavés

01/08/2009 Tukikun 3 commentaires

Le problème

Plaçons nous dans l’espace \mathbb{R}^n, n\geq 2. On appelle un pavé un ensemble de la forme
P=I_1\times I_2\times \cdots\times I_n
où les I_j, j\in\left\{1, \ldots, n\right\} c’est-à-dire le produit cartésien d’intervalles bornés de \mathbb{R} (fermés, ouverts, demi-fermés : ça n’a pas d’importance !). On définie alors la mesure d’un pavé comme le produit des longueurs des intervalles :
mes(P)=\ell(I_1) \times \ell(I_2) \times \cdots \times \ell(I_n)
On rappelle que \ell(I_j) = sup(I_j)-inf(I_j).

Considérons alors N pavés de \mathbb{R}^n : P_1, P_2, \ldots, P_N, et un pavé P\subset \bigcup_{i=1}^N P_i. Si dans les dimensions 2 ou 3, il semble trivial que la mesure de P est inférieure à la somme des mesures des P_i, c’est-à-dire respectivement que l’aire d’un rectangle inclus dans une union d’autres rectangles est inférieure à la somme des aires de ces rectangles, et que le volume d’un parallélépipède rectangle inclus dans une union d’autres parallélépipèdes rectangles est inférieure à la somme des volumes de ces parallélépipèdes rectangles, est-ce vraiment si trivial dans \mathbb{R}^n ? Ca le semble, bien entendu, mais à ce jour je n’ai pas trouvé de démonstration simple de ce résultat.

P\subset \bigcup_{i=1}^N P_i \Longrightarrow mes(P)\leq\sum_{i=1}^N mes(P_i)

Une démonstration

On peut déjà supposer sans perte de généralité (WLOG) que les pavés sont tous fermés.

Idée de la démonstration :

Idée de démonstration

Idée de démonstration



On va raisonner par récurrence sur N le nombre de pavés.

Le cas N=1 est clair : si P=I_1\times I_2\times \cdots \times I_n et Q=J_1\times J_2 \times \cdots \times J_n, alors on a

P\subset Q \Longleftrightarrow \forall i \in \left\{1, \ldots, d\right\}, I_i \subset J_i

et dans ce cas,

mes(P) = \ell (I_1)\times \ell(I_2) \times \cdots \times \ell(I_n) \leq\ell (J_1)\times \ell(J_2) \times \cdots \times \ell(J_n) = mes(Q)

Considérons alors le cas général. Notons P=I_1\times I_2 \times \cdots \times I_n et P_i = I_{i,1}\times I_{i,2}\times \cdots \times I_{i,n}. Pour chaque j\in \left\{1,\ldots, n\right\}, on subdivise l’intervalle I_j de la façon suivante :

I_j=\left[a^j_1,a^j_2\right]\cup \left[a^j_2,a^j_3\right]\cup \cdots \cup \left[a^j_{m_j},a^j_{m_j+1}\right]

où \left\{a^j_k\right\}_{k\in\left\{1, \ldots, m_j\right\}} est l’ensemble des extrémités des intervalles I_j\cap I_{i,j} pour i parcourant 1,2,\ldots, N.

Notons alors

E=\left\{k=(k_1, \ldots, k_n) \in \mathbb{N}^n \mid 1\leq k_1\leq n_1, \ldots, 1\leq k_n\leq m_n\right\}

Pour k\in E, on note Q_k = \left[a^1_{k_1}, a^1_{k_1+1}\right] \times \left[a^1_{k_2}, a^1_{k_2+1}\right] \times \cdots \times \left[a^1_{k_n}, a^1_{k_n+1}\right]. Avec ces notations, on a que P=\bigcup_{k\in E}Q_k, et que

(E): \qquad mes(P) = \prod_{j=1}^n \ell(I_j) = \prod_{j=1}^n \sum_{k_j=1}^{m_j} \ell \left(\left[a_{k_j}^j, a_{k_j+1}^j\right]\right) = \sum_{k\in E} mes(Q_k)

Or,

\sum_{k\in E} mes(Q_k) \leq \sum_{i=1}^N\left(\sum_{k \mid Q_k\subset P_i}mes(Q_k)\right)

et en appliquant (E) à P_i\cap P, on obtient

\sum_{k\in E} mes(Q_k) \leq \sum_{i=1}^N mes(P_i\cap P) \leq \sum_{i=1}^N mes(P_i)

Et c’est, enfin, ce que l’on désirait.

Auriez-vous une idée pour simplifier cette démonstration ? Peut-on réellement considérer le résultat comme trivial sinon ? Je suis preneur de toute réflexion à ce sujet !

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