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En me promenant sur les citations du site les-mathematiques.net, je suis tombé sur une citation de Georges Perec

Jouer avec les grands nombres (factorielles, suites de Fibonacci, progressions geometriques) Distance de la Terre a la Lune : une feuille de papier a cigarettes si fine qu’il en faudrait 1 000 pour obtenir un millimetre, pliée en deux 49 fois de suite ; Distance de la Terre au Soleil : la meme, pliée en deux 58 fois de suite; Distance de Pluton au Soleil : toujours la même : en la pliant 4 fois de plus, on est un peu juste, mais en la pliant 5 fois de plus, on dépasse d’un peu plus de 3 000 000 000 kilometres ; Distance de la Terre a Alpha du Centaure : 15 pliures de plus.

Bien entendu, cela m’a rappelé l’histoire de l’échiquier et des grains de riz… Cette légende orientale dit que l’inventeur des échecs, jeu ayant ravi le sultan (du fait que c’est un loisir stratégique et militaire), ne demanda en récompense  »que » un grain de riz sur la première case, deux sur la deuxième, quatre sur la troisième, huit sur la quatrième et ainsi de suite (deux fois plus que sur la case précédente).

Sous l’apparence modeste de cette requête, l’homme aurait pu  »largement » subvenir à la famine dans le monde pendant des siècles… En effet, sur la i-ème case, il y a grains de riz… Ainsi, si l’on additionne tous les grains de riz à fournir, l’échiquier contenant 64 cases, il aurait fallu

grains de riz, soit plus de 18 milliards de milliards de grains ! Sachant que 100 grains ont une masse de 8mg environ, une simple multiplication nous informe que la quantité demandée était d’environ… mille milliards de tonnes ! En regardant la production actuelle mondiale de blé sur la wikipédia, on trouve qu’actuellement, 580 millions de tonnes de ce blé sont produites chaque année dans le monde. Du coup, pour réunir une telle quantité de grains, il faudrait plus de 25 millénaires !

Revenons à la citations de Pérec… On prend une feuille de papier à cigarette très fine, de 0,001 mm (il en faut bien 1000 pour avoir 1mm d’épaisseur). Quand on plie la feuille, on double son épaisseur : si on la plie une fois, elle sera de 0,002 mm d’épaisseur; si on la plie deux fois, elle sera de 0,004 mm d’épaisseur; si on la plie trois fois, elle sera de 0,008 mm d’épaisseur, et ainsi de suite… Ainsi, au bout de pliages, son épaisseur sera de mm.

La distance de la Terre à la lune étant d’approximativement 384 000 kms, soit 384 000 000 000 mm, il suffit donc de résoudre l’inégalité suivante , ce qui donne 49,44 pliages. En pliant 50 fois cette feuille de papier, on dépasse ainsi largement la distance de la Terre à la lune ! La distance de la terre au soleil étant d’environ 149,6 millions de kilomètres, il faudrait cette fois la plier… 58 fois seulement ! Et les autres valeurs sont données par Pérec…

Dernière histoire énigme bien connue, celle des nénuphars. On suppose qu’on a un étang circulaire de rayon 50m, soit une surface de 7850 m² environ, et au centre de celui ci, un tout petit nénuphar de 0,5mm de rayon. Sachant que chaque jour, chaque nénuphar se dédouble, au bout de combien de jours auront-ils recouverts tout l’étang ?

Un nénuphar représente une surface de 0,785 mm², donc il faut résoudre , et on trouve … Au bout de 34 jours, il auront donc recouvert l’étang, alors que 4 jours auparavant il n’en aurait fait qu’un quart !

On peut faire plein de variations la-dessus qui amèneront des calculs inutiles et pénibles rigolos : par exemple, chaque nénuphar double de taille et se dédouble, ou les nenuphars du milieu de l’étang poussent ceux qui les entourent, et ainsi de suite, d’ou une certaine vitesse de déplacement (à calculer dans un référentiel bien choisi)…

Allez, pour la route, au bout de 34 jours ils ont couvert l’étant de 7850 m², mais maintenant qu’ils ont muté et qu’ils se propagent aussi sur la Terre, combien de temps mettront-ils pour la couvrir entièrement (la superficie de la Terre étant de 510 067 420 km²) ? Il ne leur faudra que 2 fois plus de temps… Argh…

Évidemment, toutes les hypothèses non-dites rendent les exemples ci-dessus  »un peu » caducs (comment un échiquier pourraient supporter une telle masse ? ou alors il devrait être énorme !), les disques ne peuvent pas paver le plan, et les distances Terre-Lune, Terre-Soleil dépendent évidemment de la période (la Terre n’est pas toujours à la même distance de son satellite et de son étoile…). Enfin, tout cela n’a que peu d’incidence, nous sommes là pour nous amuser !

Le 23 juin dernier, tous les étudiants de métropole et de la Réunion passaient leur baccalauréat de mathématiques, avec deux sujets différents comme chaque année. Ayant du temps pour les regarder et en faire une correction (sujet et corrigé de métropole et de la Réunion), j’ai été surpris par la différence de niveau attendue des lycéens… Le bac de la Réunion sauce 2009 est clairement plus corsé que celui de métropole !

D’où me vient ce constat ? Prenons par exemple l’exercice d’Analyse d’étude de fonctions. Dans le sujet métropole, en 3 questions sont demandés la limite en +∞, de comparer le signe de la dérivée à 1-x et d’en déduire le tableau de variations. Dans le sujet de la Réunion, pour  »la même fonction », il est demandé de conjecturer ces trois choses d’après le graphique, et de le montrer : il n’y a pas d’indication ! Déjà, rien que cela est étonnant, mais après tout, pourquoi pas ? Ils pourraient bien se rattraper autre part… et c’est là que l’on déchante ! Face à l’exercice facile sur les suites en métropole (où il fallait conjecturer que ) s’oppose un QCM sur les complexes (certes à espérance positive) mais avec une équation complexe du type qui a dû déstabiliser beaucoup de candidats. Pour les probabilités, la Réunion propose (encore) un exercice sur la loi binomiale alors que le sujet de métropole conserve des probabilités  »classiques », beaucoup plus appréciées par les lycéens. Et bien que l’exercice (facile) d’arithmétique de métropole amuse avec ses 3 références à l’année 2009 (jolies – soit dit en passant), on trouve un exercice de géométrie dans l’espace et de surfaces à la Réunion, avec une question ouverte intéressante et plutôt difficile. Reste le dernier exercice, celui pour ceux qui ne sont pas en spécialité mathématiques. Ceux de la Réunion ont dû beaucoup souffrir : leur exercice est carrément difficile, avec une question ouverte à la fin qui nécessitait des idées, et beaucoup de raisonnement et de calculs pour arriver à ses fins ! La différence de niveau est palpable entre les deux baccalauréats : c’est assez bluffant !

Intrigué par cette nette différence, je suis allé survoler les baccalauréats de ces deux lieux jusqu’en 2005, et nettement les sujets de la Réunion tiennent la palme de la difficulté (avec deux sujets longs en 2005 et 2009). QCM une année sur deux à peu près, mais ceux de la Réunion, c’est avec deux réponses justes parmi les 4, avec parfois des points en moins pour les réponses fausses), et ceux de métropole restent tranquilles avec une seule réponse juste (il suffit d’éliminer les autres, avec la palme du vrai/faux en 2006 qui n’enlève pas de points !). Peu d’arithmétique (et en plus il est difficile en 2005) à la Réunion, moins d’étude de fonction et d’équations différentielles, même si l’on voit apparaître une équation fonctionnelle, ce qui reste assez rare dans les sujets de baccalauréat. Et surtout, un amour (pourquoi donc ?!) pour les lois binomiales en probabilités, alors que la métropole reste  »classique » ou s’essaye (en 2008) aux probabilités continues…

Puis en vrac, à la Réunion, on trouve des équations de tangentes (ah, ce n’est pas aimé ça !), des probabilités avec un graphique et de l’analyse (sur 6 points en 2006 – pour un jeu de fléchette, à regarder c’est intéressant !), géométrie dans l’espace à foison, probabilités avec loi binomiale, une équation fonctionnelle qui donne une équation différentielle… bref, souvent des exercices pour préparer à la prépa MPSI…

Étonnant non ?

Ce blog a été créé par deux étudiants à l’époque en M1 de mathématiques dans deux universités différentes pour partager leurs passion, leurs réflexions et découvertes sur les mathématiques, leurs projets et leurs exposés, leurs énigmes et leurs sourires… Du sérieux, du moins sérieux, des mathématiques vulgarisées, niveau pré-bac, post-bac, voire au-delà… Bref, tout ce qui nous passe par la tête et que l’on a envie de partager.

Nous vous souhaitons une excellente visite sur ce site, qui va s’étoffer au fil du temps…

Tukikun & Valvino.