Démonstration physique du théorème de Pythagore

Posted on 24 juillet 2009 by Valvino

Je voulais faire un billet sur les démonstrations du théorème de Pythagore, mais j’ai eu des soucis avec la rigueur. Soit on se plonge dans les méandres de l’axiomatique euclidienne, et c’est l’horreur, soit c’est plus ou moins du pipeau.

Donc quitte à pipeauter, autant le faire bien. Je suis tombé sur cette démonstration du théorème de Pythagore :

Water-proof of Pythagoras’ Theorem

Convaincu?

Bien sûr, ça ne démontre rien du tout, car le triangle est particulier et on ne peut pas vérifier si ces quantités sont à 100% les mêmes. Cependant, de nombreuses démonstrations trouvées sur le net sont aussi discutables. Par exemple, elles utilisent souvent l’argument hautement non trivial que la somme des angles d’un triangle est de 180°. Or cet énoncé est équivalent au théorème de Pythagore. Pour être vraiment rigoureux, il faudrait partir d’une bonne axiomatique (celle d’Hilbert par exemple). Mais comme on dit, cela dépasse le cadre de ce blog !

Objet impossible : le triangle de Penrose

Posted on 22 juillet 2009 by Valvino

triangle_de_penrose

Étonnant, non ?

Entiers et probabilité

Posted on 16 juillet 2009 by Valvino

Voilà un résultat fort intéressant :

Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels non nuls inférieurs à $n!$ . En notant $p_n$ la probabilité que $a$ et $b$ soient premiers entre eux, on a

$\lim_{n \to +\infty} p_n= \frac{6}{\pi^2} \approx 61\%.$

C’est-à-dire que la « probabilité » que deux entiers soient premiers entre eux est de $6/\pi^2$ . Mais il faut faire attention avec ce mot, comme nous le verrons plus bas !

On rappelle que $n!=1\times 2\times 3 \times \cdots \times n.$

La fonction zêta de Riemann

Une fonction très connue en théorie des nombres est la fonction zêta de Riemann, notée $\zeta$ . Sur les entiers supérieurs ou égaux à 2, elle est définie par :

$\zeta(n)=1+\frac{1}{2^n}+\frac{1}{3^n}+\cdots=\sum_{k=1}^{+ \infty} \frac{1}{k^n}.$

Ce qui est remarquable, c’est qu’elle est fortement reliée aux nombres premiers à travers la formule suivante :

$\zeta(n)=\left( \frac{1}{1-1/2^n}\right)\left( \frac{1}{1-1/3^n}\right)\left( \frac{1}{1-1/5^n}\right)\cdots=\prod_{p \in \mathbb P} \frac{1}{1-1/p^n}$

où l’on fait le produit sur tous les nombres premiers.

Un autre fait remarquable, c’est que la valeur de $\zeta(2)$ est connue :

$\zeta(2)=\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}.$

Pour des démonstrations de ces résultats, on pourra se reporter aux articles produit eulérien et problème de Bâle sur Wikipédia.

Pourquoi ce « n! » ?

On peut se demander pourquoi on demande que les deux entiers $a$ et $b$ soient bornés par $n!$ Tout simplement parce qu’il n’existe pas de mesure de probabilité uniforme sur l’ensemble $\mathbb N$ des entiers naturels, ce qui empêche de parler de probabilité sur les entiers directement. Une loi uniforme est la seule qui modélise correctement le fait de prendre des objets au hasard, car elle associe la même probabilité à chaque élément.

Plus formellement, si on disposait d’une mesure de probabilités uniforme $\mu$ sur $\mathbb N$ , alors on aurait d’une part $\mu(\mathbb N)=1$ , mais aussi $\mu(\{n\})=\varepsilon$ pour tout $n$ . Or c’est impossible, car on a

$1=\mu(\mathbb N)=\mu\left( \bigcup_{n \in \mathbb N} \{n\} \right)=\sum_{n =0}^{+\infty} \mu(\{n\})=\sum_{n =0}^{+\infty} \varepsilon.$

Si $\varepsilon=0$ , on aurait $1=0$ et si $\varepsilon>0$ on aurait $1=+\infty$ , absurde.

Il est donc incorrect de parler de probabilité que deux entiers soient premiers entre eux. Le résultat énoncé plus haut n’en reste pas moins intéressant.

Démonstration

Soit $p$ un nombre premier inférieur à $n$ . Notons $A_p$ l’évènement $p$ n’est pas un diviseur commun de $a$ et $b$ .

La probabilité pour que $a$ soit divisible par $p$ est de $1/p$ . En effet, le nombre $k$ de multiples de $p$ dans $\{1,\ldots,n!\}$ vérifie

$n!-p < kp\leq n!$

c’est-à-dire

$\frac{n!}{p}-1 < k \leq \frac{n!}{p}.$

Or $n!$ est divisible par $p$ , donc $n!/p$ est un entier. Le nombre $k$ étant lui-même un entier, on a nécessairement $k=n!/p$ .

La proportion (et donc la probabilité que $a$ soit divisible par $p$ ) d’entiers divisibles dans $\{1,\ldots,n!\}$ est donc de

$\frac{k}{n!}=\frac{n!/p}{n!}=\frac{1}{p}.$

On refait le même raisonnement pour $b$ . Par indépendance sur les choix de $a$ et $b$ , la probabilité que $a$ et $b$ soient tous les deux divisibles par $p$ est de $1/p^2$ . La probabilité de l’événement $A_p$ est donc de $1-1/p^2$ .

L’événement $B_n$ : « $a$ et $b$ sont premiers entre eux » est se produit quand ils n’ont pas de facteurs commun, c’est-à-dire quand les événements $A_i$ sont tous réalisés en même temps. On a donc

$p_n=P(B_n)=P\left( \bigcap_{p \leq n!} A_p\right)$

et par indépendance

$p_n=\prod_{p \leq n!} P(A_p)=\prod_{p \leq n!} \left(1-\frac{1}{p^2}\right)$

d’où en passant à la limite sur $n$ :

$\lim_{n \to +\infty} p_n = \frac{1}{\zeta(2)}=\frac{6}{\pi^2}$

ce qui achève la démonstration.

Pour aller plus loin

On peut raffiner le théorème en travaillant avec $n$ plutôt qu’avec $n!$ mais la démonstration est plus difficile.

Pourquoi nous ne connaîtrons jamais vraiment les nombres réels

Posted on 9 juillet 2009 by Valvino

Introduction

L’histoire des mathématiques est jonchée de construction de nouveaux ensembles de nombres afin de pouvoir effectuer des calculs qui n’étaient pas possible auparavant.

À partir des entiers naturels (0,1,2,3,…), les entiers relatifs (…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…) sont apparus, afin de pouvoir rendre compte de phénomènes comme les dettes (le fameux découvert qui vous donne des sueurs froides, et fâche votre banquier) ou encore la température.

À partir des entiers relatifs, on a inventé les rationnels pour les problèmes de partages (comment partager 10 euros avec 3 personnes, source de tension au restaurant). Ce sont les fractions bien connues des collégiens (1/2, -3/77, etc…).

À partir des rationnels, la nécessité de nouveaux nombres est moins claire. Cependant, les grecs avaient déjà remarqué que la longueur de la diagonale d’un carré de longueur 1 (la fameuse racine de 2) ne peut pas s’exprimer comme un rationnel a/b (pour une démonstration, voir la fin de l’article). Les rationnels ne suffisent donc pas à décrire la réalité.

On a donc construit les nombres réels, et les mathématiciens sont contents (pas tout à fait, on a encore construit de nouveaux ensembles, notamment les nombres complexes). Pour faire simple, un réel se définit comme un nombre avec une infinité de chiffres après la virgule (qui peuvent être nuls). Même si la construction mathématique est beaucoup plus abstraite (un réel est une classe d’équivalence de suites de Cauchy rationnelles pour la relation d’équivalence « la différence tend vers 0 à l’infini », gloups !), cette vision des choses conviendra pour la suite.

Mais il est apparu que l’ensemble des nombres réels est extrêmement vaste, et contient des nombres monstrueux, non par leur taille, mais tout simplement parce que nous ne pouvons pas les calculer ! Et pire encore, ces nombres sont infiniment plus nombreux que les nombres calculables (dans un sens qui sera précisé plus loin)…

Ensembles dénombrables

La première référence d’ensemble infini dont nous disposons est l’ensemble des entiers naturels N, qui va nous servir de référence. Pour exprimer l’idée qu’un ensemble infini E à la même taille que N, on exige que l’on puisse faire correspondre à chaque élément de E un unique entier naturel. Autrement dit, que l’on peut lister les éléments de E, les classer dans un ordre précis (le premier, le deuxième, etc…). Mathématiquement, on dit que N et E sont en bijection. Si c’est le cas, E est dit dénombrable, le terme pour dire que E et N ont la même taille.

On peut se demander si l’ensemble Z des entiers relatifs est dénombrable. A priori non, car Z semble avoir une infinité d’éléments en plus (-1, -2, -3, etc…) par rapport à N, donc est plus gros. Cependant, on peut énumérer les éléments de Z de la manière suivante : 0 est le premier, 1 est le deuxième, -1 le troisième, 2 le quatrième, -2 le cinquième, etc… Ceci montre que les éléments de Z peuvent être énuméré, et donc que Z est dénombrable.

On peut ensuite se demander si l’ensemble Q des rationnels est dénombrable. A priori encore, non car cette fois-ci, entre chaque entier, on peut mettre une infinité de rationnels. Par exemple, entre 0 et 1 on peut mettre 1/2, 1/3, 1/4, etc… mais aussi 2/3, 4/5, etc… Mais il n’en est rien. On peut lister les rationnels. Je n’expose pas les détails de la démonstration, mais le graphique suivant me semble assez parlant :

Maintenant, si je vous demande si les nombres réels sont dénombrables, vous sentez le coup venir et vous allez me répondre oui. Mais la réponse est non. La démonstration est pour moi l’une des plus belles de toutes les mathématiques, vous la trouverez en fin d’article. Elle suit ce qu’on appelle l’argument de la diagonale de Cantor, le premier mathématicien à avoir exploré les concepts exposés ici.

L’ensemble des nombres réels est donc vraiment plus gros que l’ensemble des entiers naturels, des entiers relatifs et des rationnels.

Nombres calculables

Pour nous, nous dirons qu’un nombre réel est calculable s’il existe un algorithme permettant d’exhiber autant de chiffres après la virgule que nous le souhaitons. Un algorithme est un énoncé d’une suite d’opérations précises et fixées permettant de donner la réponse à un problème. Par exemple, vous connaissez (ou avez connu) l’algorithme permettant de calculer les décimales d’un rationnel, à travers la division, grande joie des écoliers. Ceci montre au passage que les rationnels sont calculables.

De nombreux réels utilisés en pratique sont calculables. Par exemple, pour calculer la racine de 2 on peut toujours prendre un entier, l’élever au carré puis essayer de corriger la différence avec 2 pour s’en rapprocher et itérer le résultat (vous trouverez un tel algorithme en fin d’article). De nombreux autres réels utiles, comme le nombre pi sont calculables.

Ce qui est remarquable, c’est que l’ensemble des nombres calculables est dénombrable ! En effet, un algorithme peut être exprimé dans un langage de programmation (par exemple le C++). Un langage de programmation s’exprime avec un nombre fini de caractère (pour l’exemple, disons 50), et un algorithme est un ensemble fini de caractères. L’ensemble des algorithmes possibles (qui contient l’ensemble des algorithmes permettant de calculer les réels) est donc la réunion de tous les algorithmes finis.

Plus précisément, pour une longueur $n$ de caractères, l’ensemble $A_n$ des algorithmes possibles a pour taille $50^n$ . L’ensemble des algorithmes possibles est donc la réunion des ensembles $A_0$ , $A_1$ , $A_2$ , etc… Ce qui est remarquable, c’est que une réunion d’un nombre dénombrable de fois d’ensembles finis est encore dénombrable (pour une démonstration, voir en fin d’article). Ceci montre que les nombres calculables sont dénombrables.

Conclusion

L’ensemble des nombres réels n’étant pas dénombrable, alors que l’ensemble des nombres calculables l’est. Ceci montre qu’il existe des nombres non calculables, et même que ces nombres sont beaucoup plus nombreux que les nombres calculables. Il est donc vain de vouloir connaître précisément l’ensemble des nombres réels, ce qui fait que c’est un objet très compliqué… Bien souvent, les constructions mathématiques se révèlent plus riches que prévues.

Pour aller plus loin, je vous invite à lire les articles suivants :

Annexe: démonstrations

Vous pouvez retrouvez toutes les démonstrations dans ce document PDF.

Quelques calculs de puissances de deux…

Posted on 7 juillet 2009 by Tukikun

En me promenant sur les citations du site les-mathematiques.net, je suis tombé sur une citation de Georges Perec

Jouer avec les grands nombres (factorielles, suites de Fibonacci, progressions geometriques) Distance de la Terre a la Lune : une feuille de papier a cigarettes si fine qu’il en faudrait 1 000 pour obtenir un millimetre, pliée en deux 49 fois de suite ; Distance de la Terre au Soleil : la meme, pliée en deux 58 fois de suite; Distance de Pluton au Soleil : toujours la même : en la pliant 4 fois de plus, on est un peu juste, mais en la pliant 5 fois de plus, on dépasse d’un peu plus de 3 000 000 000 kilometres ; Distance de la Terre a Alpha du Centaure : 15 pliures de plus.

Bien entendu, cela m’a rappelé l’histoire de l’échiquier et des grains de riz… Cette légende orientale dit que l’inventeur des échecs, jeu ayant ravi le sultan (du fait que c’est un loisir stratégique et militaire), ne demanda en récompense »que » un grain de riz sur la première case, deux sur la deuxième, quatre sur la troisième, huit sur la quatrième et ainsi de suite (deux fois plus que sur la case précédente).

Sous l’apparence modeste de cette requête, l’homme aurait pu »largement » subvenir à la famine dans le monde pendant des siècles… En effet, sur la i-ème case, il y a $2^{i-1}$ grains de riz… Ainsi, si l’on additionne tous les grains de riz à fournir, l’échiquier contenant 64 cases, il aurait fallu

$1+2+2^2+2^3+\cdots+2^{63} = \sum_{i=1}^{64} 2^{i-1} = 2^{64}-1 = 18 446 744 073 709 551 615$

grains de riz, soit plus de 18 milliards de milliards de grains ! Sachant que 100 grains ont une masse de 8mg environ, une simple multiplication nous informe que la quantité demandée était d’environ… mille milliards de tonnes ! En regardant la production actuelle mondiale de blé sur la wikipédia, on trouve qu’actuellement, 580 millions de tonnes de ce blé sont produites chaque année dans le monde. Du coup, pour réunir une telle quantité de grains, il faudrait plus de 25 millénaires !

Revenons à la citations de Pérec… On prend une feuille de papier à cigarette très fine, de 0,001 mm (il en faut bien 1000 pour avoir 1mm d’épaisseur). Quand on plie la feuille, on double son épaisseur : si on la plie une fois, elle sera de 0,002 mm d’épaisseur; si on la plie deux fois, elle sera de 0,004 mm d’épaisseur; si on la plie trois fois, elle sera de 0,008 mm d’épaisseur, et ainsi de suite… Ainsi, au bout de $n$ pliages, son épaisseur sera de $0,001\times 2^{i-1}$ mm.

La distance de la Terre à la lune étant d’approximativement 384 000 kms, soit 384 000 000 000 mm, il suffit donc de résoudre l’inégalité suivante $0,001 \times 2^{n-1}\geq 384\times 10^9$ , ce qui donne 49,44 pliages. En pliant 50 fois cette feuille de papier, on dépasse ainsi largement la distance de la Terre à la lune ! La distance de la terre au soleil étant d’environ 149,6 millions de kilomètres, il faudrait cette fois la plier… 58 fois seulement ! Et les autres valeurs sont données par Pérec…

Nenuphar_geant Dernière histoire énigme bien connue, celle des nénuphars. On suppose qu’on a un étang circulaire de rayon 50m, soit une surface de 7850 m² environ, et au centre de celui ci, un tout petit nénuphar de 0,5mm de rayon. Sachant que chaque jour, chaque nénuphar se dédouble, au bout de combien de jours auront-ils recouverts tout l’étang ?

Un nénuphar représente une surface de 0,785 mm², donc il faut résoudre $0,000000785\times 2^{n}\geq 7850$ , et on trouve $n\geq 33,22$ … Au bout de 34 jours, il auront donc recouvert l’étang, alors que 4 jours auparavant il n’en aurait fait qu’un quart !

On peut faire plein de variations la-dessus qui amèneront des calculs inutiles et pénibles rigolos : par exemple, chaque nénuphar double de taille et se dédouble, ou les nenuphars du milieu de l’étang poussent ceux qui les entourent, et ainsi de suite, d’ou une certaine vitesse de déplacement (à calculer dans un référentiel bien choisi)…

Allez, pour la route, au bout de 34 jours ils ont couvert l’étant de 7850 m², mais maintenant qu’ils ont muté et qu’ils se propagent aussi sur la Terre, combien de temps mettront-ils pour la couvrir entièrement (la superficie de la Terre étant de 510 067 420 km²) ? Il ne leur faudra que 2 fois plus de temps… Argh…

Évidemment, toutes les hypothèses non-dites rendent les exemples ci-dessus »un peu » caducs (comment un échiquier pourraient supporter une telle masse ? ou alors il devrait être énorme !), les disques ne peuvent pas paver le plan, et les distances Terre-Lune, Terre-Soleil dépendent évidemment de la période (la Terre n’est pas toujours à la même distance de son satellite et de son étoile…). Enfin, tout cela n’a que peu d’incidence, nous sommes là pour nous amuser !

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