Nature et Fibonacci

Posted on by
1

Pour commencer, je vous souhaite une très bonne année 2012, qui j’espère sera emplie de bonheur, de joies, de plaisir, rimera avec bonne santé et contiendra de belles découvertes mathématiques.

Je ne voulais pas m’étendre ici sur la découverte de la suite de Fibonacci dans la nature, vous trouverez une jolie réponse partielle à la question « Pourquoi voit-on la suite de Fibonacci dans les pâquerettes ? » dans ce document, ou quelques images sur le blog Choux romanesco, vache qui rit et intégrale curviligne.

Je souhaitais juste rajouter une jolie image du fruit d’un Cycas (pseudo palmier), posé sur un genévrier rampant, prise en Corse en juillet dernier, pour illustrer la beauté et la géométrie dans la nature (ainsi que donner une illustration supplémentaire pour vérifier la présence de la suite de Fibonacci).

Merci J.

L’énigme des moines

Posted on by
2

En ces temps de fêtes, je vous propose une énigme pour briller lors des repas de famille. Je propose même une variante plus subtile si vous estimez que votre belle-mère fait preuve d’un esprit logique à tout épreuve (ou pas).

Premier énoncé

Dans un monastère perdu, il y a N moines (par exemple N = 100). Ces braves religieux ont deux règles absolues :

  1. il est interdit de communiquer entre eux de quelque manière que ce soit : il est impossible pour eux d’échanger la moindre information à leurs congénères par la parole, les gestes, l’attitude, …
  2. il est interdit de regarder son propre visage, que ce soit dans un miroir ou dans une flaque d’eau, etc.

Un beau jour le diable débarque à la cantine où tous les moines sont réunis et déclare (tous les moines l’entendent) :

J’ai marqué sur le front d’au moins un moine un symbole satanique.

Les moines qui savent à coup sûr qu’ils sont marqués du sceau de l’infamie se suicident à minuit. On suppose également que les moines sont parfaitement logiques et intelligents, c’est-à-dire que s’il y a un moyen infaillible de savoir s’ils sont marqués, ils le découvrent dans la journée et se suicident le soir.

La question est : si le diable a marqué disons n moines (par exemple n = 30, les moines ignorent ce nombre), que se passe-t-il?

Deuxième énoncé (plus subtil)

La situation est exactement la même sauf que le diable marque n moines (les moines ignorent ce nombre) sans se faire voir ni rien dire à personne et s’en va.

Un beau jour (le nombre de jour n’importe pas cela peut être 3 jours ou 10 ans après), une femme débarque à la cantine où tous les moines sont réunis et déclare (tous les moines l’entendent)  :

Il y a au moins un moine ici avec une marque satanique sur le front.

La question est : que se passe-t-il?

Indices et solution du premier énoncé

Indice : regarder ce qui se passe si n = 1, puis  n = 2, etc.

Solution : si n = 1, le moine marqué voit qu’aucun de ses collègues n’a de marque, il sait donc que c’est lui qui a la marque (le diable a dit qu’il y a au moins une marque), donc se suicide dès le premier soir. Si n = 2, les deux moines marqués voient un seul autre moine marqué, donc ne peuvent rien conclure et ne font rien le premier soir. De même les autres moines ne font rien. Mais le deuxième jour, les deux voient que l’autre marqué ne s’est pas suicidé, ils en concluent que eux aussi ont la marque (sinon l’autre se serait suicidé, on serait dans le cas précédent n = 1) et se suicident. En refaisant le même raisonnement, on voit que pour n = 3 les moines marqués vont voir deux autres marqués et vont attendre le troisième jour pour voir si on est dans le cas précédent n = 2, ils voient alors que non et en concluent qu’ils doivent se suicider.

Finalement en réitérant le raisonnement (ie en faisant un raisonnement par récurrence, mais vous allez larguer votre belle-mère avec ce terme, si jamais elle avait suivi jusque là), tous les n moines marqués vont tous se suicider le soir du n-ième jour.

Indice et solution du second énoncé

S’il y a un seul moine marqué c’est exactement comme la situation précédente, le moine marqué va voir qu’il ne voit aucun marqué, il va donc se suicider le soir de la visite de la femme. Avant il n’avait aucun moyen de savoir qu’il était le seul marqué.

S’il y a deux moines marqués ou plus, c’est un peu plus subtil parce qu’on se dit que dès que le diable a fait son oeuvre, les moines voient au moins un marqué et sont au courant de l’existence des marques. On a donc envie de dire que les n moines vont se suicider le n-ième jour après la visite du diable, et non le n-ième jour après la visite de la femme.

La question fondamentale est : qu’apporte réellement comme information la femme (et le diable dans le premier énoncé)?

En fait c’est un peu sur le mode de « je sais qu’il sait que je sais… ». En effet, s’il y a deux moines marqués, dès la visite du diable ils vont tous les deux savoir qu’il y a un seul autre moine marqué. Mais ils ne peuvent savoir comment interpréter que l’autre ne s’est pas suicidé le premier soir après la visite du diable. Est-ce parce qu’il a vu une autre marque, ou parce qu’il est le seul marqué et qu’il ignore qu’il y a des moines marqués?

Finalement, il faut vraiment attendre la visite de la femme pour commencer le cycle, et les n moines vont se suicider le soir du n-ième jour après la visite de la femme (même raisonnement que pour le premier énoncé).

En fait, la femme (et le diable dans le premier énoncé) apporte plus que la connaissance de l’existence de moines marqués. Elle apporte aussi le fait que les autres sont au courant de l’existence de ces marques.

Amusez-vous à la raconter, et dites-moi ce que vous en pensez dans les commentaires. Bonnes fêtes!

Open data (gouvernement, google, …)

Posted on by
3

Lorsqu’on enseigne les probabilités et les statistiques, on recherche parfois des séries de données à exploiter qui serait réelles plutôt que d’inventer des données dont on ne connaît pas la pertinence. Par exemple, lorsque j’enseignais les biostatistiques en classe préparatoire pour les étudiants en santé, j’étais à la recherche de données comme la situation périnatale en France en 2010, ou tout autre type de données de ce genre. Jusqu’à présent, on pouvait trouver ce genre données sur des sites comme l’insee par exemple, ou dans des livres comme l’enquête sur la sexualité en France qui présente et commente l’enquête « Contexte de la sexualité en France » réalisée en 2006, qui procure alors de nombreux nombres très pertinents (et intéressants) !

Hier, lundi 5 décembre 2011, le gouvernement a dévoilé le site data.gouv.fr

qui rassemble plus de 350 000 jeux de données publiques, plus ou moins facilement utilisables et réexploitables (en fonction du format), selon les critères de l’open data. Outre l’utilisation que je mentionnais ci-dessus comme ensemble de valeurs intéressantes à utiliser dans un cadre scolaire, chacun pourra juger de la pertinence des données publiées, ou s’intéresser aux applications utiles qui pourront découler de la diffusion de ces données, comme celles présentées dans cet article du journal « Le Post ».

Un lien à garder sous la main et à surveiller du coin de l’œil !

Ajout (7/12/2011) : On pourra aussi noter le Google Public Data Explorer, qui rend accessible de larges séries de données. Les graphiques et carter évoluent constamment, et permettent ainsi de mieux appréhender les changements qui not lieu dans le monde. On pourra apprécier grandement le choix des pays que l’on souhaite comparer, par exemple sur le taux de chômage en Europe ou la dette publique (e.g. en fonction du PIB). Différentes représentations des données sont proposées (courbes, diagrammes en bâtons), dont une représentation sur carte quand le sujet s’y apprête, avec une animation permettant d’observer l’évolution dans le temps. Très visuel et appréciable !

Google et les graphes de fonctions

Posted on by
6

Pour ceux qui auraient besoin de tracer rapidement l’allure d’une fonction, de comparer des fonctions sans lancer de lourds logiciels graphiques, Google permet maintenant de tracer des graphes de fonctions facilement, en indiquant l’expression de la fonction dans la barre de recherche :

On pourra par exemple représenter des fonctions plus ou moins simples en les séparant par les virgules

En rajoutant from -4.5 to 4.5, on peut spécifier le domaine de la fonction, par exemple

On peut alors zoomer, obtenir les valeurs approchées en certains points (ce qui peut être efficace pour vérifier empiriquement un point d’intersection). On regrettera que pour le moment, seules les fonctions monovariées sont disponibles, mais nul doute que les cardioïdes deviendront accessibles dans le futur. En attendant, on peut toujours déclarer son amour avec la fonction suivante :

Source

Exposition : Mathématiques – un dépaysement soudain… ou pas

Posted on by
1

Du 21 octobre 2011 au 18 mars 2012, la fondation Cartier propose une exposition appelée Mathématiques, un dépaysement soudain, et révèle un univers dans lequel les artistes ont accompagné les mathématiciens à travers 6 salles consacrées aux mathématiques. On trouvera sur le site officiel d’avantage de détails et un remerciement à toutes les personnes ayant créé cette exposition.

Comme le nom le suggère, il s’agit à travers cette exposition de faire partager la fascination et l’accomplissement devant les mathématiques. Lorsque je me suis rendu à cette exposition vers midi, il n’y avait pas grand monde. J’ai pu rentrer immédiatement (en tarif -26 ans, le pass éducation n’ouvrant pas de réduction particulière — ce qui, entre parenthèses, me semble assez étonnant) et recevoir la feuille A2 recto-verso qui détaillait l’exposition, format qui me semblait peu adapté. En fait, ce format s’explique par le fait qu’il n’y a aucune explication ailleurs que sur cette feuille…

J’ai commencé par les pièces de droite, où selon la feuille se trouvent la plupart des œuvres. On trouve un pavage de Penrose (sans explication, sauf si on essaye de lire la feuille dans l’atmosphère feutrée), une demi sphère dans laquelle sont projetées des démonstrations géométriques, ou la répartition des nombres premiers… malheureusement on ne peut regarder les deux ou trois films muets qui défilent au risque de boucher la pièce en restant au milieu. Sur la droite, est projeté sur un écran un film sur le Grand collisionneur de hadrons (LHC), où l’on parle du boson de Higgs. Nous avons un peu quitté le domaine des mathématiques, même si le sujet est intéressant, et encore une fois, on ne peut visionner tout le film en toute tranquillité. Sur la droite, des gens attendent pour voir les ergo-robots (aux têtes bizarres de David Lynch) qui explorent leur environnement, et en même temps inventent leur propre langage pour parler de ce qui les entoure. Malheureusement, il est difficile d’obtenir une information un peu moins vulgarisée de ce qui a été fait ici, de ce que signifie ce qui est projeté sur les parois au fond. De retour dans la pièces aux multiples exposés, on peut apercevoir sur un écran tactile, à coté d’un tableau noir, une application imaginée par Takeshi Kitano où l’on doit produire le nombre 2011 à l’aide des opérations élémentaires et des nombres entiers successifs et uniquement dans l’ordre croissant. On y trouve en mémoire les plus belles expressions (en six chiffres !).

De l’autre coté, une « bibliothèque des mystères » un peu cachée où sont projetées des citations de livre et où l’on trouve au plafond une fresque de dessins de l’infiniment petit à l’infiniment grand. Au sous sol, on tombe d’abord sur une fresque mentionant tous les travaux de Poincaré (et qui illustre donc la multitudes des sujets qu’il a abordé tout au long de sa vie), fresque qui ne raconte pas grand chose… En face, la main de Cedric Villani est filmée en train d’écrire une démonstration de la conjecture de Cercignani ; on a envie que la caméra recule, on ne peut pas suivre, puis on finit comme tout un chacun à regarder les traits sur le tableau noir. Dans la salle adjacente, un espace vide à l’exception au centre d’une surface de révolution à courbure négative constante, certes jolie (la pointe fait 2mm de diamètre) mais un peu perdue au milieu de cette grande pièce vide.
Au sous-sol encore, une salle de « cinéma » où des mathématiciens de toute nationalité expliquent quelque chose sur les mathématiques. Cette succession de morceaux de vies filmée par Raymond Depardon est très intéressante et bien réussie.

Et puis c’est tout.

J’ai retourné plusieurs fois la feuille pour essayer de voir si j’avais manqué la moitié de l’exposition mais non…

Je suis ressorti de l’exposition assez déçu. En 40 minutes, on a complètement fait le tour de l’exposition, on ressent un sentiment de vide et de place gâchée pour cette grande pièce ne contenant qu’une surface, alors qu’une dizaine d’autres (différentes) auraient largement eu la place de s’étendre et d’émerveiller les spectateurs. L’exposition est assez creuse, manque cruellement de petits panneaux explicatifs (le format A2 pour le dépliant explicatif étant peu adapté), plusieurs morceaux de l’exposition sont sans intérêt. Alors certes, on évite les habituels exposés que l’on peut voir ailleurs (nombre d’or, etc.), mais il n’y a pas grand chose qui parle au public (qu’il soit mathématicien ou non). À la sortie, à 13h, beaucoup de gens faisaient la queue…

Sujets liés :
- un commentaire positif sur Image des Mathématiques
- un commentaire peu enthousiaste