Preuve topologique de l’infinitude des nombres premiers

03/02/2010 Valvino un commentaire

Voilà un titre qui en jette un maximum! J’ai lu dans l’excellent livre Raisonnements divins (chez Springer) une démonstration étonnante du fait qu’il existe une infinité de nombres premiers. Elle est d’un niveau élevé car elle fait appel à des notions de topologie générale, mais elle est assez élémentaire pour qui connait cette théorie. Je la livre donc ici.

On définit une topologie sur \mathbb Z en disant que les ouverts sont le vide et les O \subset \mathbb Z vérifiant que pour tout entier a\in O, il existe un entier b>0 tel que a+b\mathbb Z\subset O. Il est clair que la réunion quelconque d’ouverts est un ouvert. De plus, si O_1,O_2 sont des ouverts, ou bien l’intersection est vide et O_1 \cap O_2 est un ouvert, ou bien pour a \in O_1 \cap O_2, on a a+b_1b_2\mathbb Z \subset O_1 \cap O_2, avec  des entiers b_1,b_2>0 tels que a+b_1\mathbb Z\subset O_1 et a+b_2\mathbb Z\subset O_2. Finalement,  O_1 \cap O_2 est un ouvert. On a donc bien une topologie sur \mathbb Z.

On remarque d’une part que tout ouvert non vide est infini (car par définition il contient un ensemble infini), et d’autres part que tout ensemble du type a+b\mathbb Z, avec a,b des entiers (b>0), est un fermé. En effet, on a

\displaystyle a+b\mathbb Z=\mathbb Z-\left(\bigcup_{k=1}^{b-1} [a+k+b\mathbb Z]\right),

c’est donc le complémentaire d’un ouvert.

Comme tout entier différent de 1 et -1 admet un diviseur premier, on a

\displaystyle \mathbb Z-\{-1,1\}=\bigcup_p 0+p\mathbb Z

où la réunion se fait sur tous les nombres premiers p. S’ils étaient en nombre fini, \bigcup_p 0+p\mathbb Z serait fermé comme réunion finie d’ensembles fermés. Par passage au complémentaire, \{-1,1\} serait ouvert, ce qui est absurde car c’est un ensemble fini non vide. Il existe donc une infinité de nombres premiers.

Joli, non?

Categories: Maths difficiles Tags: , , ,

Le théorème de Wielandt

26/01/2010 Valvino Aucun commentaire

La fonction gamma \Gamma prolonge la notion de factorielle sur l’ensemble des nombres complexes privés des entiers négatifs ou nul. Il s’agit là d’une fonction holomorphe, sauf aux entiers négatifs ou nul où elle admet des pôles. C’est donc une fonction méromorphe sur les nombres complexes.

On dispose de plusieurs caractérisations de cette fonction. Citons le théorème de Bohr-Mollerup :

Soit une fonction f:]0,+\infty[ \to ]0,+\infty[ telle que

  1. f(1)=1;
  2. f(x+1)=xf(x) pour tout x>0;
  3. f est log-convexe, c’est-à-dire que \log(f) est une fonction convexe.

Alors f(x)=\Gamma(x) pour tout x>0.

On dispose d’une autre caractérisation, il s’agit du théorème de Wielandt :

Soit f une fonction holomorphe sur \mathrm{Re}(z)>0 telle que

  1. f(1)=1;
  2. f(z+1)=zf(z) pour tout \mathrm{Re}(z)>0;
  3. f est bornée dans la bande 1 \leq \mathrm{Re}(z) \leq 2.

Alors f(z)=\Gamma(z) pour tout \mathrm{Re}(z)>0.

Je me propose de faire une esquisse de la démonstration.

On remarque tout d’abord que l’on peut étendre f sur l’ensemble des nombres complexes privés des entiers négatifs ou nul par 2. en suivant la même méthode que pour la fonction gamma. Ensuite, on remarque avec 1. que les résidus aux pôles sont les mêmes que ceux de la fonction gamma. Ainsi, la fonction g=f-\Gamma est une fonction entière.

Ensuite, on remarque que g est bornée sur la bande 0 \leq \mathrm{Re}(z) \leq 1. Pour cela, il suffit de remarquer que c’est le cas sur la bande 1 \leq \mathrm{Re}(z) \leq 2, en faisant une majoration explicite sur la formule définissant \Gamma. On utilise ensuite 2. pour se ramener à la bande 0 \leq \mathrm{Re}(z) \leq 1, le problème en 0 étant effaçable par 1.

Enfin, on pose h(z)=g(z)g(1-z).  Par ce qui précède, c’est une fonction entière bornée dans la bande 0 \leq \mathrm{Re}(z) \leq 1. De plus, h(z+1)=-h(z), ce qui montre que h est une fonction bornée sur l’ensemble des nombres complexes. Par le théorème de Liouville, elle est constante. Comme h(1)=0, on a h=0, c’est-à-dire g=0. Finalement, f=\Gamma.

Categories: Maths difficiles Tags: , , , ,

Maths et magie, racine septième d’un entier

11/01/2010 Tukikun Aucun commentaire

Si vous voulez impressionner des amis (ou des élèves) par vos performances en calcul mental, mais que malheureusement, vous n’êtes pas aussi doués que d’autres mathématiciens, vous pourriez être tenté d’utiliser quelques petites astuces…

Comment extraire une racine septième d’un entier ?

Demandez à la personne en face de vous d’élever un nombre (entier, cela va de soi, sinon votre tour tombe à l’eau) compris entre 1 et 100 à la puissance 7, avec une calculatrice scientifique (la petite calculatrice aura du mal à afficher 100^7=10^{14}, c’est-à-dire 100 000 milliards…, et qu’elle vous annonce le résultat.

Supposons par exemple qu’elle annonce 3 938 980 639 167. Écrivez le nombre sur votre feuille en séparant tous les 3 chiffres (comme on le fait naturellement en français).

Première étape : déterminons le chiffre des unités du nombre élevé à la puissance 7. On regarde alors le chiffre des unités du nombre qui nous a été donné :

3 938 980 639 167

Puis on regarde discrètement dans ce petit tableau qu’on a caché (ou mieux, qu’on a appris par coeur tellement il est simple) à quoi correspond ce chiffre 7 :

Chiffre des unités du nombre donné 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Chiffre des unités du nombre initial 0 1 8 7 4 5 6 3 2 9

Le nombre initial fini donc par un 3 ! Les plus savants peuvent retenir que ce tableau correspond exactement à la permutation (3,7)(2,8)…

Deuxième étape : Déterminons maintenant le nombre de dizaines. Pour cela on regarde le nombre de milliards qui figurent dans le nombre donné, c’est-à-dire qu’on oublie les 9 premiers chiffres. Dans notre exemple :

3 938 980 639 167

Puis on regarde discrètement dans ce petit tableau qu’on a caché (ou mieux, qu’on a appris par coeur… parce qu’il n’y a que 10 valeurs à retenir) où se situe ce nombre 3938 :

Nombre de milliards du nombre donné 0 0,01 1 21 163 780 2700 8000 20000 47000 100000
Nombre de dizaines du nombre initial 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

On voit bien que 3938 se situe entre 2700 et 8000. On prend donc le nombre de dizaines du nombre le plus petit entre 6 et 7, c’est-à-dire 6.

Finalement, vous pouvez annoncer fièrement votre résultat : le nombre de départ était 63 !

Comment ça fonctionne ?

Il est remarquable qu’à la puissance 7, les chiffres des unités des puissances septième soient tous différents selon le chiffre des unités de départ, et on retrouve exactement les mêmes résultats aux puissances 3 et 5. Même mieux, à la puissance 9, le chiffre des unités de la racine neuvième est exactement le chiffre des unité du nombre final !

D’autre part, les encadrements données dans le second tableau sont simplement ceux que l’on obtient en calculant les puissances septièmes des différentes dizaines, entre 10 et 100, puis en les divisant pas 1 000 000 000, et en arrondissant.

Il convient juste de faire attention lorsque l’on arrondit de ne pas les rendre inférieurs à la puissance septième située immédiatement en dessous. Par exemple, 60^7 = 2 779,36 milliards et 59^7 = 2 488,… milliards, donc on peut arrondir à 2700, 2600 ou 2500 mais pas moins, et du ce fait les puissances septièmes des nombres ayant 5 pour dizaine seront situés sous la barre des 2 700 (ou 2 600, ou 2 500) milliards.

On pourra s’amuser si on le souhaite trouver des moyens équivalents pour calculer des racines cubiques, cinquième ou neuvième des entiers inférieurs à 100.

Categories: Maths et magie Tags: , ,

Le théorème de Jordan

13/12/2009 Valvino un commentaire

Prenez une feuille de papier, et un stylo. Tracez une ligne, avec pour conditions

  1. ne pas lever le stylo;
  2. ne pas repasser par dessus la ligne;
  3. refermer la ligne sur elle-même à la fin.
Une ligne respectant les conditions.

Une ligne respectant les conditions.

Le théorème de Jordan vous dit alors que vous avez découpé votre feuille en deux parties d’un seul bloc, avec une partie finie et l’autre infinie (si on considère que le papier pourrait être aussi grand que l’on veut). Et là bien sûr vous vous dites qu’il ne faut pas sortir de Polytechnique pour établir des résultats aussi évidents… Hé bien, en dépit de son apparente simplicité, ce théorème est très difficile à démontrer. Tout réside dans le fait qu’il existe des lignes dans le plan très vicieuses…

Commençons par énoncer rigoureusement le théorème. Tout d’abord, on définit une courbe (c’est-à-dire une ligne) comme une fonction f qui part de l’intervalle [0,1] et qui va dans le plan. D’une certaine manière, [0,1] peut être vu comme le temps (0 le début du tracé, 1 la fin) et f(t) le point tracé exactement à l’instant t. On exige que cette fonction soit continue (la condition de ne pas lever le stylo), ainsi la courbe est « en un seul morceau ». De plus, on veut que la courbe se referme sur elle-même à la fin, donc on exige f(0)=f(1). Enfin, il ne faut pas que la courbe repasse sur elle-même, on veut donc que f(t_1) \neq f(t_2) à deux instants t_1 et t_2 qui ne sont pas exactement 0 et 1. On a donc une condition d’injectivité de la courbe (la courbe doit être injective sur [0,1[ et ]0,1]). Les courbes ainsi définies portent le doux nom de courbes de Jordan.

Comment formaliser le concept d’être « d’un seul bloc »? On dit qu’une partie du plan est connexe (c’est-à-dire d’un seul bloc) si on peut toujours passer d’un point de cette partie à un autre par une courbe continue.

La partie A est connexe, alors que B ne l'est pas.

La partie A est connexe, alors que B ne l'est pas.

Rappelons que le complémentaire d’une partie du plan est tout simplement la partie du plan constituée des points qui ne sont pas dans la première. Deux parties du plan sont dites disjointes si elles n’ont pas de points en commun. Enfin, une partie du plan est dite bornée quand on peut l’inclure dans un disque de rayon fini.

On peut alors énoncer correctement le théorème de Jordan :

Le complémentaire d’une courbe de Jordan est constitué de deux parties connexes qui sont disjointes. L’une est bornée, et l’autre non.

Pourquoi ce théorème est-il si difficile à démontrer? Tout simplement parce qu’il existe des courbes de Jordan très vicieuses. Comme exemple, prenons une courbe de Jordan de type fractale appelée flocon de von Koch. Sans rentrer dans les détails, c’est une courbe obtenue en itérant une infinité de fois le procédé décrit dans l’animation suivante :

Les premières étapes de la construction du flocon de von Koch.

Les premières étapes de la construction du flocon de von Koch.

Le problème de ce genre de courbe est qu’il est difficile de savoir si deux points peuvent être reliés par une courbe continue qui ne passe pas par dessus le flocon à cause des innombrables radicelles que forme la courbe. C’est ce qui fait la difficulté de ce théorème!

Pour plus d’informations, vous pouvez consulter le très bon article wikipédia sur le sujet.

Categories: Vulgarisation Tags: , , , , , , ,

Efficacité vaccin du sida

04/11/2009 Tukikun Aucun commentaire

Jeudi 24 septembre 2009, des chercheurs américains et thaïlandais ont annoncé avoir mis au point un vaccin permettant de réduire de 31,2 % les infections au virus du sida. Cette information a circulé tout autour de la terre comme un formidable message d’espoir… Dans l’article que j’ai lu, ils parlaient d’une expérience effectuée sur 16000 individus… qui ont été divisés en deux groupes, l’un ayant le vaccin et le second un placebo. Cependant, aucune autre information n’était disponible : combien de cas de sida dans chaque groupe, comment ont été constitués les groupes, quels étaient les risques de contamination des individus, et un certain nombre d’informations importantes… Et surtout : comment ce nombre de 31,2% a-t-il été calculé ?

Ne disposant pas de ces résultats et voulant mettre en garde les étudiants de médecine auxquels je donnais des cours cette année, je leur ai fait tester l’hypothèse : « le vaccin n’a aucun effet » sur un échantillon de 16000 personnes, 6000 ayant reçu le vaccin et 10000 un placebo; avec une prévalence (très élevée) de 1% dans la population. Ainsi, sur le groupe de 10 000 individus, 100 présentaient le virus, et 42 parmi le groupe ayant été vacciné, ce qui – ramené à effectif comparable – est une baisse de 30% du virus du sida. Après de petits calculs, on ne peut pas rejeter l’hypothèse faite au risque 5%… c’est-à-dire qu’il est possible que les différences d’effectifs soient le seul fait du hasard (mais pas forcément que le vaccin n’a eu aucun effet) à 95% ! Conclusion : impossible d’en dire plus…

Aujourd’hui, je suis tombé sur une brève de l’AFP, expliquant un peu mieux comment ont été formés les groupes, etc. En refaisant une comparaison de pourcentage à l’aide du test du \chi^2, on obtient au risque 5% le rejet de l’hypothèse, c’est-à-dire qu’avec un risque de 5% de se tromper, on peut dire que le vaccin a eu un effet ! Bon, après, il faut relativiser : le chiffre avancé de 31,2% est assez… arbitraire ! Rien ne dit que le vaccin provoque une immunité dans 30% des cas : ce chiffre est fortement contesté par la communauté scientifique. De plus, ce sont deux groupes de volontaires, donc ce n’est pas un essai thérapeutique randomisé, on ne sait pas s’il s’agit d’un test en double aveugle (c’est-à-dire médecins et patients ignorent s’ils ont le vaccin ou un placebo) ou si seul le patient ignore le produit qui lui a été injecté. On ne sait rien des effets à long terme, et on ne sait pas si ce vaccin serait utilisable en Afrique (population à haut risque, avec un type différent de virus) !

Bref, une modeste avancée, mais qui s’avère statistiquement significative au risque 5%… Mais on est loin des 31,2% de protection annoncés !

Le matraquage médiatique et les pourcentages lancés sans aucune explication permettent une manipulation importante d’une population non prévenue… Il existe de nombreux exemples de cette manipulation :

- Suite au premier tour de l’élection présidentielle française en 2002 (et la surprise pour une grande partie des français des résultats du front national), le canard enchaîné (hebdomadaire satirique) avait publié une image mettant en avant la corrélation entre les retombées radioactives de Tchernobyl et les résultats du Front National dans les départements

Corrélation entre retombées radioactives de Tchernobyl et vote en faveur du Front National

Corrélation entre les retombées radioactives de Tchernobyl et le vote en faveur du Front National

Mais ce qu’il faut savoir, c’est qu’une corrélation entre deux phénomènes de ce genre, en mathématiques, indique une relation du genre :

si on est dans une région ayant eu de fortes retombées suite à la catastrophe de Tchernobyl, alors le vote Front National est élevé dans notre région, et inversement

En effet, si notre département a beaucoup voté FN, on doit être dans l’est et du coup, il y a de grandes chances que les retombées du nuage radioactif aient été importantes. Mais il n’y a pas forcément dépendance entre les événements, c’est-à-dire que ça ne signifie pas qu’un des éléments a causé le second !

- Quand la sécurité routière annonce des pourcentages, elle dit qu’il y a par exemple 97% des accidents sur des lignes droites le jour et 3% la nuit, et donc qu’il faut être prudent le jour aussi, etc. Ce qu’elle ne mentionne pas, c’est qu’il y a beaucoup plus de circulation le jour que la nuit, et que proportionnellement, la probabilité d’avoir un accident sur une ligne droite le jour est très faible, alors que cette probabilité est beaucoup plus importante de nuit !

Les nombres permettent de manipuler les individus, il convient de rester vigilant et critique envers tous ces pourcentages qui jonchent l’actualité !

Categories: Divers Tags: , , ,